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在数学中，“无限接近（{{lang-en|infinitely close}}）”是一个关键概念，涉及到极限和[[连续性]]等重要主题。这个概念描述的是一个变量趋近于某个特定值时，其函数值也趋近于一个[[极限值]]。无限接近的思想不仅在数学分析中至关重要，也在许多实际应用中发挥着关键作用。

无限接近的核心在于理解变量如何在趋近于某个特定值时，其函数行为的变化。一个常见的例子是极限，当我们说  <math> x </math> 无限接近于某个值 <math> a </math> 时，函数 <math>f(x)</math> 的值无限接近于某个特定的极限值 <math> L </math> ，可以用符号表示为 <math>\lim_{x \to a} f(x) = L</math>。这一概念是微积分、连续函数以及其他许多数学领域的基础。

== 无限接近 ==
=== 定义 ===
设 <math>x, y \in \mathbb{R}^*</math>，若 <math>x - y</math> 是无限小，称 <math>x</math> 与 <math>y</math> 无限接近，记为 <math>x \approx y</math>。更一般地，设 <math>X</math> 是豪斯多夫拓扑空间，<math>X^*</math> 是 <math>X</math> 在 *-映射下的像。若 <math>p, q</math> 是 <math>X^*</math> 中的两个点，且 <math>p, q</math> 属于同一个单子，则称 <math>p</math> 与 <math>q</math> 无限接近，记为 <math>p \approx q</math>。<ref>{{cite book |author1=《数学辞海》编辑委员会编 |title=数学辞海. 第三卷 |date=2002.08 |publisher=南京:东南大学出版社 |isbn=9787810506120 |page=349 |accessdate=2025-01-23}}</ref>

=== 应用 ===
无限接近的概念在许多领域中都有应用：
* '''数学分析'''：用于定义连续性、导数和积分等概念。
* '''物理学'''：描述例如速度和加速度的瞬时变化。
* '''工程学'''：在信号处理和控制系统中应用极限理论。

=== 无限小 ===
无限小亦称无穷小，指其绝对值小于任何正实数的数。设 <math>x \in \mathbb{R}^*</math>，若对每个正实数 <math>r</math>，都有 <math>|x| < r</math>，则称 <math>x</math> 是无限小。若存在实数 <math>r</math>，使得 <math>|x| < r</math>，则称 <math>x</math> 是有限数。

=== 无限大 ===
无穷小亦称无限小,无穷大是一个数学概念，用来描述一个量不断增大的情况。无穷大不是一个具体的数，而是一个概念，用来描述一个变量的值在趋近于某种无限大状态时的行为。常用符号 <math>\infty</math> 表示无穷大。

* '''定义'''：设 <math>x\in\mathbb{R}^*</math>，若 <math>x</math> 趋近于无穷大，表示为 <math>x \to \infty</math>，表示 <math>x</math> 的绝对值变得任意大。
* '''应用'''：无穷大在极限理论中用于描述函数的渐近行为，例如，当 <math>x \to \infty</math> 时，函数 <math>f(x)</math> 的极限为 <math>\infty</math>，即 <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty</math>。

<math>x \to \infty </math> 表示 <math> x</math> 的绝对值变得任意大
无穷大在极限理论中用于描述函数的渐近行为，例如当 <math>x \to \infty </math> 时，函数 <math> f(x) </math> 的极限为 <math> \infty </math>，即 <math> \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty.</math>

=== 单子 ===
单子亦称晕，是相互无限接近的点的集合。设 <math>x \in \mathbb{R}</math>，集合 <math>M(x) = \{ y \in \mathbb{R}^* \mid x \approx y \}</math> 称为 <math>x</math> 所在的单子。任意两个单子要么相等，要么不交。

=== 历史背景 ===
无限接近的思想可以追溯到古希腊数学家，比如欧几里得。现代形式的极限理论则是由19世纪的数学家们发展起来的，如柯西和魏尔斯特拉斯。

== 參考來源 ==
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== 外部來源 ==