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{{noteTA
|G1=物理學
}}{{量子力学}}
[[File:Deltawell.png|thumb|200px|對於一個Delta位勢阱的[[散射]]。往左與往右的[[行進波]]的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算[[透射係數]]與[[反射係數]]的[[行進波]]都以紅色表示。]]
在[[量子力學]]裏，'''Delta位勢阱'''是一個[[势阱|阱]]內位勢為負[[狄拉克Delta函數]]，阱外位勢為0的位勢阱。'''Delta位勢阱問題'''專門研討，在這種位勢的作用中，一個粒子的量子行為。這是一個常見的理論問題。假若，粒子的能量是正值的，我們想要知道的是，在被Delta位勢壘[[散射]]的狀況下，粒子的[[反射係數]]與[[透射係數]]。假若，粒子的能量是負值的，這粒子會被束縛於Delta位勢阱的阱內。這時，我們想要知道的是粒子的能量與束縛的量子態。

== 定義 ==
一個粒子獨立於[[時間]]的[[薛丁格方程]]為
:<math>- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)= E\psi(x)\,\!</math>；

其中，<math>\hbar\,\!</math>是[[約化普朗克常數]]，<math>m\,\!</math>是粒子質量，<math>x\,\!</math>是粒子位置，<math>E\,\!</math>是能量，<math>\psi(x)\,\!</math>是[[波函數]]，<math>V(x)\,\!</math>是位勢，表達為

:<math>V(x)= - \lambda\delta(x)\,\!</math>；

其中，<math>\delta(x)\,\!</math>是[[狄拉克Delta函數]]，<math>\lambda\,\!</math>是狄拉克Delta函數的強度。

== 導引 ==
這位勢阱將一維空間分為兩個區域：<math>x<0\,\!</math>與<math>x>0\,\!</math>。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的的[[態疊加原理|疊加]]（參閱[[自由粒子]]）：

:<math>\psi_L(x)= A_r e^{i k x} + A_l e^{-ikx}\quad x<0 \,\!</math>， 
:<math>\psi_R(x)= B_r e^{i k x} + B_l e^{-ikx}\quad x>0\,\!</math>；

其中，<math>A_r\,\!</math>、<math>A_l\,\!</math>、<math>B_r\,\!</math>、<math>B_l\,\!</math>都是必須由[[邊界條件]]決定的常數，下標<math>r\,\!</math>與<math>l\,\!</math>分別標記波函數往右或往左的方向。<math>k=\sqrt{2m E/\hbar^{2}}\,\!</math>是[[波數]]。 

當<math>E>0\,\!</math>時，<math>\psi_L\,\!</math>與<math>\psi_R\,\!</math>都是[[行進波]]。可是，當<math>E<0\,\!</math>時，<math>\psi_L\,\!</math>與<math>\psi_R\,\!</math>都隨著座標<math>x\,\!</math>呈指數遞減或指數遞增。

在<math>x=0\,\!</math>处，邊界條件是：

:<math>\psi_L=\psi_R\,\!</math>，
:<math>\frac{d}{dx}\psi_L = \frac{d}{dx}\psi_R - \frac{2m\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!</math>。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在<math>x=0\,\!</math>並不是連續的，在位勢阱兩邊的差額有<math>\frac{2\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!</math>這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於<math>x=0\,\!</math>的一個非常小的鄰域：
::<math> - \frac{\hbar^2}{2 m} \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \frac{d^2 \psi}{d x^2}\, dx + \int_{ - \epsilon}^{\epsilon}V(x) \psi \, dx = E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx\,\!</math>；<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

其中，<math>\epsilon\,\!</math>是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是
:<math>E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx \approx E \cdot 2 \epsilon \cdot \psi(0)\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

当<math>\epsilon \to 0\,\!</math>时，该項趋向于0。

方程式(1)左邊是
:<math> - \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon} - \frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon} \right) + \lambda\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx = 0\,\!</math><span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>

根據[[狄拉克Delta函數]]的定義，
:<math>\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx =\psi_R(0)\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(4)</span>

而在<math>\epsilon \to 0\,\!</math>的極限，

:<math>\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon}=\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_0\,\!</math>，<span style="position:absolute;right:15%">(5)</span>
:<math>\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon}=\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_0\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(6)</span>

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，整理后，可以得到第二個邊界條件方程式：在<math>x=0\,\!</math>，
:<math>\frac{d\psi_L}{dx}=\frac{d\psi_R}{dx}- \frac{2m\lambda}{\hbar^2}\psi_R\,\!</math>。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

:<math>A_r+A_l=B_r+B_l\,\!</math>，

:<math>ik(A_r - A_l - B_r+B_l)=\frac{2m\lambda}{\hbar^2}(B_r+B_l)\,\!</math>。

=== 散射態 ===
[[File:Deltapotwell.PNG|thumb|200px|一個Delta位勢阱的反射係數<math>R\,\!</math>（用紅線表示）與透射係數<math>T\,\!</math>（用綠線表示）隨著能量<math>E\,\!</math>的變化。在這裏，能量<math>E>0\,\!</math>。能量的單位是<math>\frac{\lambda^2}{2m\hbar^2}\,\!</math>。經典力學的答案用虛線表示，量子力學的答案用實線表示。]]

假若，能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢阱外的兩個半空間，<math>x<0\,\!</math>或<math>x>0\,\!</math>。在這裏，粒子的量子行為主要是由Delta位勢阱造成的[[散射]]行為。稱這粒子的[[量子態]]為'''散射態'''。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢阱，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的[[反射係數]]與[[透射係數]]。設定<math>A_r=1\,\!</math>，<math>A_l=r\,\!</math>，<math>B_l=0\,\!</math>，<math>B_r=t\,\!</math>。求算反射的[[機率幅]]<math>r\,\!</math>與透射的[[機率幅]]<math>t\,\!</math>：
:<math>r= -\ \cfrac{1}{\cfrac{i\hbar^2 k}{m\lambda} + 1}\,\!</math>，
:<math>t=\cfrac{1}{ - \ \cfrac{i m\lambda}{\hbar^2k}+1}\,\!</math>。

反射係數是
:<math>R=|r|^2=\cfrac{1}{1+\cfrac{\hbar^4k^2}{m^2\lambda^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{2\hbar^2 E}{m\lambda^2}}\,\!</math>。

這純粹是一個量子力學的效應；在經典力學裏，這是不可能發生的。

透射係數是
:<math>T=|t|^2=1 - R=\cfrac{1}{1+\cfrac{m^2\lambda^2}{\hbar^4k^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{m\lambda^2}{2\hbar^2 E}}\,\!</math>。

*由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
*很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

=== 束縛態 ===
[[File:DeltaF-WaveSolution.png|thumb|200px| Delta位勢阱的束縛態，在任何一個位置，波函數都是連續的；可是，除了在<math>x=0\,\!</math>以外，在其它任何位置，波函數隨位置的導數都是連續的。]]

每一個一維的吸引位勢，都至少會存在著一個[[束縛態]]（{{lang|en|bound state}}）。由於<math>E<0\,\!</math>，波數變為複數。設定<math>\kappa= - ik=\sqrt{2m |E|/\hbar^2}\,\!</math>。前述的振盪的波函數<math>\psi_L\,\!</math>與<math>\psi_R\,\!</math>，現在卻隨著座標<math>x\,\!</math>呈指數遞減或指數遞增。為了要符合物理的真實性，我們要求波函數不[[發散級數|發散]]於<math>x\to\pm \infty\,\!</math>。那麼，<math>A_r\,\!</math>與<math>B_l\,\!</math>必須被設定為0。波函數變為

:<math>\psi_L(x)=  A_l e^{\kappa x}\,\!</math>，
:<math>\psi_R(x)= B_r e^{ - \kappa x}\,\!</math>。

從邊界條件與[[歸一條件]]，可以得到
:<math>A_l=B_r=\sqrt{\kappa}\,\!</math>，
:<math>\kappa=\frac{m\lambda}{\hbar^2}\,\!</math>。

Delta位勢阱只能有一個束縛態。束縛態的能量是
:<math>E= -\ \frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}= -\ \frac{m\lambda^2}{2\hbar^2}\,\!</math>。

束縛態的波函數是
:<math>\psi(x)= \frac{\sqrt{m\lambda}}{\hbar}e^{ - m\lambda\mid x\mid /\hbar^2}\,\!</math>。

Delta位勢阱是[[有限深方形阱]]的一個特別案例。在有限深位勢阱的深度<math>V_0\to\infty\,\!</math>與阱寬<math>L\to 0\,\!</math>的極限，同時保持<math>V_0 L=\lambda\,\!</math>，就可以從有限深位勢阱的波函數，得到Delta位勢阱的波函數。

== 雙井迪拉克Delta函數模型 ==
[[File:Doubledeltawell.png|thumb|200px|当核间距R=2时，双势井狄拉克Delta函数模型中的对称与反对称的波函数]]
Delta函數模型其實是[[氫原子]]的一維版本根據維度比例由 [[达德利·赫施巴赫]]（“Dudley R. Herschbach”）<ref>[[达德利·赫施巴赫|D.R Herschbach]], J.S. Avery, and O. Goscinski (eds.), ''Dimensional Scaling in Chemical Physics'', Springer, (1992). [http://www.amazon.com/Dimensional-Scaling-Chemical-Physics-Herschbach/dp/0792320360] {{Wayback|url=http://www.amazon.com/Dimensional-Scaling-Chemical-Physics-Herschbach/dp/0792320360 |date=20080513002811 }}</ref>團隊所研發。此 delta函數模型以雙井迪拉克Delta函數模型最有用，因其代表一維版的水分子離子。

雙井迪拉克Delta函數模型是用以下薛丁格方程描述：
:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2}(x) +V(x)\psi(x) = E\psi(x)</math>
電位現為：
:<math>V(x)=-q \left[ \delta(x - \frac{R}{2}) + \lambda \delta(x+ \frac{R}{2}) \right]</math> 
其中<math> 0 < R < \infty </math>是「核間」距離於迪拉克Delta函數（負）峰值位於<math> x= \pm {\textstyle \frac{R}{2}} </math>（圖表中棕色所示）。記得此模型與其三維分子版本的關係，我們用[[原子单位制]]且設<math>\hbar = m=1</math>。此處<math> 0 < \lambda < 1 </math>為一可調參數。從單井的例子，可推論[[擬設]]於此解為：

:<math> \psi(x) ~ = ~ A e^{-d \left|x - \frac{R}{2}\right|} + B e^{-d \left|x + \frac{R}{2}  \right|}</math>
令波函數於Delta函數峰值相等可得[[行列式]]：
:<math>
\left| \begin{array}{cc} q - d & q e^{-d R} \\  q \lambda e^{-d R} & q \lambda - d \end{array} \right| = 0 ~,
\qquad  E = -\frac{d^2}{2} ~.
</math>
因此，<math> d </math>是由偽二次式方程：
:<math>
d_{\pm}(\lambda)~=~{\textstyle\frac{1}{2}}q(\lambda+1) 
\pm {\textstyle\frac{1}{2}}
\left\{ q^2(1+\lambda)^{2}-4\,\lambda q^2 \lbrack 1-e^{-2d_{\pm }(\lambda
)R}]\right\} ^{1/2} 
</math>
它有兩解<math> d=d_{\pm} </math>。若等價情況（對稱單核），<math>\lambda =1 </math>則偽二次式化為：
:<math>
d_{\pm} = q [1 \pm e^{-d_{\pm} R}]
</math>
此「+」代表了對稱於中點的波函數（圖中紅色）而<math> A = B </math>稱為偶態。接著，「-」情況為反對稱於中點的波函數其<math> A = -B </math>稱為非偶態（圖中綠色）。它們代表著三維<math> H_2^{+} </math>的兩種最低能態之近似且有助於其分析。對稱電價的特徵能分析解為<ref>T.C. Scott, J.F. Babb,  [[亚历山大·达尔加诺|Alexander Dalgarno]]  and John D. Morgan III, "The Calculation of Exchange Forces: General Results and Specific Models", ''J. Chem. Phys.'', 99, pp. 2841-2854, (1993). [http://adsabs.harvard.edu/abs/1993JChPh..99.2841S]</ref>：
:<math>
d_{\pm} = q ~+~ W(\pm q R e^{-q R} )/R 
</math>
其中W是標準[[朗伯W函数]]注意此最低能對應於對稱解<math> d_{+}</math>。當非等電價，此為三維分子問題，其解為一般化Lambert W函數（見一般化[[朗伯W函数]]章節與相關參考）。

==外部链接==
<references/>

== 參閱 ==
*[[自由粒子]]
*[[無限深方形阱]]
*[[有限深方形阱]]
*[[有限位勢壘]]
*[[球對稱位勢]] 
*[[Delta位勢壘]]
*[[量子穿隧效應]]

[[Category:量子力学模型|D]]