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[[泛函分析]]中，'''C<sup>*</sup>-代数'''（或读作“C星代数”）是配备了满足[[埃尔米特伴随|伴随]]性质的[[对合]]的[[巴拿赫代数]]。典型例子是满足以下两个性质的[[复数 (数学)|複]][[希尔伯特空间]]上连续[[线性算子]]的[[复数 (数学)|複]][[域上的代数|代数]]''A''：

* ''A''是[[算子]][[算子范数|范数拓扑]]中的拓扑[[闭集]]。
* ''A''是[[伴随算子|算子伴随运算]]下的闭集。
另一类非常重要的C<sup>*</sup>-代数包括''X''上的复值连续函数代数<math>C_0(X)</math>，其中''X''是[[局部紧]][[豪斯多夫空间]]。
一般认为C<sup>*</sup>-代数主要是应用在[[量子力学]]中[[可观察量]]的[[概念模型|模型]]代数中。这方面的研究始于1933年左右[[维尔纳·海森堡]]创立的[[矩阵力学]]以及[[帕斯库尔·约当]]研究的更接近数学的形式。之后[[冯·诺依曼]]在他的一系列关于算子环的论文中尝试建立更广泛的架构。这些论文可看做是一类特殊的C<sup>*</sup>-代数，现在称为[[冯诺依曼代数]]。

1943年前后，[[伊斯拉埃爾·蓋爾范德]]和[[马克·奈马克]]对C<sup>*</sup>-代数建立了不依赖于希尔伯特空间算子的抽象刻画。

在当代数学研究中，C<sup>*</sup>-代数是[[局部紧群]]的[[酉表示]]理论的重要工具，在量子力学的代数架构中也有应用。另一个活跃的研究领域是对可分单[[核C*-代数|核C<sup>*</sup>-代数]]的分类以及确定分类的详细可能性。

== 抽象刻画 ==
此处给出盖尔范德和奈马克1943年给出的定义。

C<sup>*</sup>-代数''A''是[[复数域]]上的[[巴拿赫代数]]以及[[映射]]<math>{}^*:\ A\to A</math>的组合。''A''中元素''x''关于映射* 的像记作''x''<sup>*</sup>。映射拥有下列性质
* <math>\forall x\in A</math>，是[[对合]]：
::<math>x^{**} = (x^*)^* =  x </math>

* <math>\forall x,\ y\in A:</math>
::<math>(x + y)^* = x^* + y^* </math>
::<math>(x y)^* = y^* x^* </math>
* 对任意复数<math>\lambda\in\mathbb{C}</math>以及<math>\forall x\in A</math>：
::<math>(\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^* </math>
* <math>\forall x\in A</math>：
::<math>  \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|.</math>
'''备注''' 前四条等式表示''A''是[[*-代数]]。最后一条叫做'''C<sup>*</sup>恒等式'''，等价于

<math>\|xx^*\| = \|x\|^2</math>
有时也称作B<sup>*</sup>-恒等式。这是很强的约束，举例来说，结合[[谱半径]]公式可以推出C<sup>*</sup>–范数由以下代数结构唯一确定：

::<math> \|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\{|\lambda| : x^* x - \lambda \,1</math>不可逆<math> \}</math>
给定的从C<sup>*</sup>-代数''A''到''B''的[[有界线性算子]] <math>\pi: A \to B</math>被称为'''*-同态'''，如果
* <math>\forall x,\ y\in A</math>：
::<math> \pi (x y) = \pi (x) \pi (y) </math>
* <math>\forall x\in A</math>：
::<math> \pi(x^*) = \pi (x)^* </math>

在C<sup>*</sup>-代数的情形中，任何*-同态都是[[压缩 (算子理论)|压缩]]，即范数 ≤ 1而有界。此外，C<sup>*</sup>-代数之间的单射*-同态都[[等距同构|等距]]。这些都来自C<sup>*</sup>恒等式。

双射*-同态''π''称作'''C*-同构'''，其中称''A''、''B''''同构'''。

== 历史：B*-代数与C*-代数 ==
B*-代数由C. E. Rickart于1946年引入，用于描述满足以下条件的[[巴拿赫代数#巴拿赫*-代数|巴拿赫*-代数]]：

* 对给定B*-代数中所有''x''：<math>\lVert x x^* \rVert = \lVert x \rVert ^2</math>（B*-条件）

这条件意味着*-对合等距，即<math>\lVert x \rVert = \lVert x^* \rVert </math>。于是，<math>\lVert xx^*\rVert = \lVert x \rVert \lVert x^*\rVert</math>，B*-代数也是C*-代数。反过来看，C*-条件能推出B*-条件。这不是平凡的，但无需用<math>\lVert x \rVert = \lVert x^* \rVert</math>即可证明。<ref>{{harvnb|Doran|Belfi|1986|pp=5–6}}, [https://books.google.com/books?id=6jNbsnJVjMoC&pg=PA5 Google Books].</ref>于是，B*-代数在目前术语已很少使用，取而代之是C*-代数。

C*-代数由I. E. Segal于1947年引入，用于描述<math>B(H)</math>的在范数拓扑下闭的子代数，即某希尔伯特空间''H''上有界算子的空间。C代表封闭（Closed）。<ref>{{harvnb|Doran|Belfi|1986|p=6}}, [https://books.google.com/books?id=6jNbsnJVjMoC&pg=PA6 Google Books].</ref><ref>{{harvnb|Segal|1947}}</ref>Segal在论文中将C*-代数定义为“希尔伯特空间上有界算子的一致闭自伴代数”。<ref>{{harvnb|Segal|1947|p=75}}</ref>

== C*-代数的结构 ==
C*-代数有大量技术上很方便的性质，其中一些可通过连续泛函微积分或还原为交换C*-代数来建立。后者时，我们可以利用其结构由[[盖尔范德表示|盖尔范德同构]]决定这一事实。

=== 自伴元 ===
自伴元是满足<math> x = x^* </math>的元素。形式为<math> x^*x </math>的C*-代数''A''的元素集形成闭[[凸锥]]，与<math> xx^* </math>形式元素相同。锥的元素被称作非负元（或正元素，与ℝ中元素的术语相冲突）。

C*-代数''A''的自伴元集自然具有[[偏序]][[向量空间]]结构，通常用<math> \geq </math>表示。其中，自伴元素<math> x \in A </math>，当且仅当''x''的[[谱 (泛函分析)|谱]]非负，当且仅当<math> s \in A</math>，有<math> x = s^*s </math>，能满足<math> x \geq 0 </math>。两自伴元<math>x,\ y\in A</math>若满足<math> x - y \geq 0 </math>，则<math> x \geq y </math>。

这个偏序子空间允许在C*-代数上定义正线性泛函，进而定义C*-代数的[[态 (泛函分析)|态]]，进而利用[[GNS构造]]，构造C*-代数的谱。

=== 商与近似单位 ===
C*-代数''A''都有[[近似单位]]。''A''有自伴元有向族<math>\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in I}</math>使得

:: <math> x e_\lambda \rightarrow x </math>
:: <math> 0 \leq e_\lambda \leq e_\mu \leq 1\quad \mbox{ whenever } \lambda \leq \mu. </math>

: ''A''若可分，则有序列近似单位（sequential approximate identity）。更一般地，当且仅当''A''包含'''[[遗传C*-代数|严格正元]]'''，即正元素''h''使<math>hAh</math>在''A''中稠密，''A''才有序列近似单位。

运用近似单位，可证明C*-代数对具有自然范数的闭紧合双侧[[理想 (环论)|理想]]的代数[[商]]仍是C*-代数。

同样，C*-代数的闭双侧理想也是C*-代数。

== 谱 ==
'''[[C*-代数]]''A''的谱'''记作<math>\hat A</math>，是''A''的不可还原*-表示。''A''在[[希尔伯特空间]]''H''上的*-表示<math>\pi</math>，当且仅当''H''与<math>\{0\}</math>之外没有闭子集''K''（即非平凡闭子集）能在<math>\forall x\in A,\ \pi(x)</math>下不变时，称<math>\pi</math>是不可还原的。我们隐式地假定，不可还原表示指非空的不可还原表示，从而排除了1维空间上的平凡表示（恒为0）。如下所述，谱<math>\hat A</math>自然也是[[拓扑空间]]，这与[[环的谱]]类似。

这概念最重要的应用之一是为[[局部紧]]群提供[[对偶 (数学)|对偶]]对象的概念。这种对偶对象适用于为I型幺模[[可分空间|可分]]局部紧群应用[[傅里叶变换]]和[[普朗歇尔定理]]，以及为I型可分局部紧群的任意表示提出分解定理。然而由此产生的局部紧群对偶理论比紧拓扑群的[[淡中–克莱因对偶性]]或局部紧阿贝尔群的[[庞特里亚金对偶性]]更弱，后两者都是完全不变量。由于任何有限维全矩阵代数<math>M_n(\C)</math>的对偶都由一个点组成，因此对偶不是完全不变量也就不难理解了。

=== 主谱 ===

<math>\hat A</math>的[[拓扑]]可有多种等价的定义方式。首先用'''主谱'''定义。

''A''的主谱是''A''的[[主理想]]集<math>{\rm Prim}(A)</math>，主理想指非零不可还原*-表示的核。主理想集是具有'''壳-核拓扑'''（hull-kernel topology，或'''雅各布森拓扑'''）的[[拓扑空间]]，定义如下：若''X''是主理想集，其'''壳-核闭包'''是

:<math> \overline{X} = \left \{\rho \in \operatorname{Prim}(A): \rho \supseteq \bigcap_{\pi \in X} \pi \right \}. </math>

很容易证明壳-核闭包是一种[[幂等]]运算，即

:<math> \overline{\overline{X}} = \overline{X},</math>

可以证明其满足[[库拉托夫斯基闭包公理]]，因此可以证明<math>{\rm Prim}(A)</math>上有唯一的拓扑<math>\tau</math>，使得关于<math>\tau</math>的集合''X''的闭包与''X''的壳-核闭包完全相同。

由于幺正等价表示具有相同的核，所以映射<math>\pi\mapsto {\rm ker}{\pi}</math>通过[[满射]]

:<math> \operatorname{k}: \hat{A} \to \operatorname{Prim}(A). </math>

分解。我们用''k''来定义<math>\hat A</math>的拓扑：

'''定义'''. <math>\hat A</math>的开集是<math>{\rm Prim}(A)</math>的开子集''U''的逆像<math>k^{}-1i(U)</math>。这便是拓扑。

壳-核拓扑是交换环的[[扎里斯基拓扑]]在非交换环上的类似物。壳-核拓扑诱导的<math>\hat A</math>上的拓扑还可用'A''的[[状态 (泛函分析)|态]]描述。
=== 例子 ===
==== 交换C*-代数 ====
[[File:3-dim commut algebra, subalgebras, ideals.svg|thumb|right|224px|3维交换C*-代数及其理想。8个理想中的每个都对应离散3点空间的一个闭子集（或开补集），主理想对应闭[[单元集]]。]]
交换C*-代数''A''的谱与''A''的[[盖尔范德变换|盖尔范德对偶]]（注意不要与巴拿赫空间''A''的[[巴拿赫空间|对偶]]''A'''混淆）重合。具体来说，设''X''是[[紧空间|紧]][[豪斯多夫空间]]，则有[[自然变换|自然]][[同胚]]

:<math> \operatorname{I}: X \cong \operatorname{Prim}( \operatorname{C}(X)).</math>

此映射的定义是

: <math>  \operatorname{I}(x) = \{f \in \operatorname{C}(X): f(x) = 0 \}.</math>

其中<math>I(x)</math>是<math>C(X)</math>中的闭最大理想，也是主理想。对交换C*-代数，

:<math> \hat{A} \cong \operatorname{Prim}(A).</math>

==== 有界算子的C*-代数 ====

令''H''维可分无穷维[[希尔伯特空间]]。<math>L(H)</math>有两个对范封闭的*-理想：<math>I_0=\{0\}</math>与紧算子的<math>K=K(H)</math>。因此作为集合，<math>{\rm Prim}(L(H))=\{I_0,\ K\}</math>。现在
* <math>\{K\}</math>是<math>{\rm Prim}(L(H))</math>的闭子集。
* <math>\{I_0\}</math>的闭包是<math>{\rm Prim}(L(H))</math>。

因此<math>{\rm Prim}(L(H))</math>是非豪斯多夫空间。

另一方面，<math>L(H)</math>的谱要大得多。有很多核为<math>K(H)</math>或<math>\{0\}</math>的不等价不可还原表示。
==== 有限维C*-代数 ====

设''A'' 是有限维C*-代数。已知''A''同构于全矩阵代数的有限直和：

:<math> A \cong \bigoplus_{e \in \operatorname{min}(A)} Ae, </math>

其中<math>{\rm min}(A)</math>是''A''的最小中心投影。''A''的谱与<math>{\rm min}(A)</math>在[[离散拓扑]]上规范同构。对有限维C*-代数，也有同构

:<math> \hat{A} \cong \operatorname{Prim}(A).</math>
=== 谱的其他特征 ===

壳-核拓扑很容易抽象表述，但实际上，对与[[局部紧]][[拓扑群]]相关联的C*-代数，需要用正定函数描述谱上拓扑的其他特征。实际上，<math>\hat A</math>上的拓扑与表示的弱包含密切相关，如下：

:'''定理'''. 令<math>S\subseteq\hat A</math>。则对不可还原表示<math>\pi</math>，下列条件等价：
:# <math>\pi</math>在<math>\hat A</math>中的等价类位于''S''的闭包中；
:# 与<math>\pi</math>相关的每个态，即形式为
:::<math> f_\xi(x) = \langle \xi  \mid \pi(x) \xi \rangle </math>
::且<math>\lVert\xi\rVert=1</math>，是与''S''中的表示相关联的态的弱极限。

第二个条件意味着<math>\pi</math>弱包含于''S''中。

[[GNS构造]]将C*-代数''A''的态与''A''的表示相关联。据与GNS构造相关的基本定理之一，对态''f''，当且仅当相关表示<math>\pi_f</math>不可约，''f''才是纯的。此外，由<math>f\mapsto \pi_f</math>定义的映射<math>\kappa:\ {\rm PureState}(A)\to\hat A</math>是满射。

根据前面的定理，很容易证明下面的内容：
:'''定理''' GNS构造给出的映射
::<math> \kappa: \operatorname{PureState}(A) \to \hat{A} </math>
:是连续开映射。
==== <math>{\rm Irr}_n(A)</math>空间 ====

<math>\hat A</math>上的拓扑还有一种描述，即将表示空间视作具有具有适当点收敛拓扑的拓扑空间。详细点说，令''n''是基数，令<math>H_n</math>是''n''维规范希尔伯特空间。
<math>{\rm Irr}_n(A)</math>是''A''在<math>H_n</math>中的不可约*-表示空间，具有点弱拓扑。就网的收敛性而言，此拓扑的定义是<math>\pi_i\to\pi</math>；当且仅当

:<math>\langle \pi_i(x) \xi \mid \eta \rangle \to \langle \pi(x) \xi \mid \eta \rangle \quad \forall \xi, \eta \in H_n \ x \in A. </math>

事实证明，<math>{\rm Irr}_n(A)</math>上的这种拓扑，结构与点强拓扑相同，即当且仅当

:<math> \pi_i(x) \xi \to \pi(x) \xi \quad \mbox{ normwise } \forall \xi \in H_n \ x \in A</math>
有<math>\pi_i\to\pi</math>。

:'''定理'''. 令<math>\hat{A}_n</math>为<math>\hat A</math>的子集，由底希尔伯特空间是''n''维的的表示的等价类组成。规范映射<math>{\rm Irr}_n(A)\to\hat{A}_n</math>是连续开的。特别是，<math>\hat{A}_n</math>可视作<math>{\rm Irr}_n(A)</math>在幺正等价下的商拓扑空间。

'''备注'''.  将不同的<math>\hat{A}_n</math>拼凑在一起可能相当复杂。

=== 麦基–博雷尔结构 ===

<math>\hat A</math>是拓扑空间，因此也可视作[[博雷尔集|博雷尔空间]]。乔治·麦基（G. Mackey）提出了一个著名猜想：当且仅当博雷尔空间是标准的，即（在博雷尔空间范畴中）与完全可分度量空间的底博雷尔空间同构时，称可分局部紧群是I型的。麦基称具有这一性质的博雷尔空间为光滑空间。[[詹姆斯·格利姆]]在1961年证明了此猜想。

'''定义'''.  可分C*-代数''A''的非退化*-表示<math>\pi</math>，当且仅当<math>\pi(A)</math>生成的冯诺依曼代数中心是1维时，称其是'''因子表示'''（factor representation）。当且仅当C*-代数''A''的任意可分因子表示是不可还原因子表示的有限倍或可数倍时，称其属于I型。
<math>C*(G)</math>为I型的可分局部紧群''G''的例子如连通（实）[[幂零]][[李群]]和连通实[[半单]]李群。因此，[[海森堡群]]都是I型的。紧群和阿贝尔群也都是I型的。

:'''定理'''. 若''A''可分，则当且仅当''A''是I型时，<math>\hat A</math>光滑。

这个结果对可分I型C*-代数及相应的可分I型局部紧群的表示结构进行了意义深远的概括。

=== 代数主谱 ===
{{see also|主谱}}

由于C*-代数''A''是[[环 (代数)|环]]，所以也可考虑''A''的[[主理想]]集。对一个环，当且仅当理想是[[单模]]的[[零化子]]时，此理想才是主理想。对C*-代数''A''，当且仅当一个理想是上述定义意义上的主理想时，它才是代数上的主理想。

:'''定理'''.  令''A''是C*-代数。''A''在复向量空间上的不可还原表示，在代数上等价在希尔伯特空间的拓扑上不可还原的*-表示。当且仅当它们幺正等价时，希尔伯特空间上的拓扑不可还原*-表示在代数上同构。

若''G''是局部紧群，则''G''的群C*-代数<math>C^*(G)</math>的对偶空间上的拓扑称作'''费尔拓扑'''，得名于J. M. G. Fell。

== 例子 ==
=== 有限维C*-代数 ===
<math>\mathbb{C}</math>上''n''阶方阵的代数<math>M(n,\ \mathbb{C})</math>，若将方阵看做欧氏空间<math>\mathbb{C}^n</math>上的算子，并在方阵上使用[[算子范数]]||&middot;||，则<math>M(n,\ \mathbb{C})</math>就变成了C*-代数；对合由[[共轭转置]]给出。更一般地，可以考虑矩阵代数的有限[[模的直和|直和]]。事实上，所有作为向量空间有限维的C*-代数在同构的意义上都是这种形式。自伴要求意味着有限维C*-代数是[[半单代数]]，由此可推出下面的[[阿廷-韦德伯恩定理]]：

<blockquote>'''定理'''  有限维C*-代数''A''[[规范形|规范]]地同构于有限直和
:<math> A = \bigoplus_{e \in \min A } A e</math>
其中min ''A''是''A''的最小非零自伴中心投影集。</blockquote>

C*-代数''Ae''与全矩阵代数<math>M({\rm dim}(e),\ \mathbb{C})</math>同构（非规范）。<math>\{{\rm dim}(e)\}_e</math>给出的min''A''上的有限族索引称作''A''的维向量，唯一确定了有限维C*-代数的同构类。用[[算子K理论]]的话说，这向量是''A''的<math>K_0</math>群的[[有序交換群|正锥]]。

'''†-代数'''（更确切地说，''†-封闭代数''）是[[物理学]]中偶尔使用的名称，指有限维C*-代数。<ref>John A. Holbrook, David W. Kribs, and Raymond Laflamme. "Noiseless Subsystems and the Structure of the Commutant in Quantum Error Correction." ''Quantum Information Processing''. Volume 2, Number 5, pp. 381&ndash;419.  Oct 2003.</ref>[[剑标]]†在物理学中常用于表示[[埃尔米特伴随]]，且通常不关注与无穷维相关的微妙问题。数学中通常用星号*表示埃尔米特伴随。†-代数在[[量子力学]]，特别是[[量子信息科学]]中有重要地位。
有限维C*-代数的一个直接推广是[[近似有限维C*-代数]]。

=== 算子的C*-代数 ===
C*-代数的典型例子是定义在复[[希尔伯特空间]]''H''上的有界（等价于连续）[[线性算子]]的代数<math>B(H)</math>，其中''x*''表示算子<math>x:\ H\to\ H</math>的[[埃尔米特伴随|伴随算子]]。事实上，对合适的希尔伯特空间''H''，所有C*-代数''A''都*-同构于<math>B(H)</math>的闭范伴随闭子代数，这就是[[盖尔范德-奈马克定理]]。

=== 紧算子的C*-代数 ===
设''H''为[[可分空间|可分]]无穷维希尔伯特空间，则''H''上紧算子代数<math>K(H)</math>是<math>B(H)</math>的[[算子范数|闭范]]子代数。它在对合下也封闭，因此是C*-代数。

紧算子的具体C*-代数具有类似于Wedderburn有限维C*-代数定理的特征：

<blockquote>'''定理''' 设''A''是<math>K(H)</math>的C*-子代数，则存在希尔伯特空间<math>\{H_i\}_{i\in I}</math>，使
:<math> A \cong \bigoplus_{i \in I } K(H_i),</math>
其中（C*-）直和包含笛卡儿积<math>\Pi K(H_i)</math>的元素<math>(T_i),\ ||T_i||\to 0</math></math>。</blockquote>

虽然<math>K(H)</math>没有幺元，但可以为<math>K(H)</math>建立一个序列[[近似单位]]，具体来说''H''同构于平方可和序列<math>I^2</math>空间；不妨令<math>H=I^2</math>。对每个自然数''n''，令<math>H_n</math>为项<math>k\ge n</math>时为零的<math>I^2</math>序列的子空间，令<math>e_n</math>为到<math>H_n</math>的正交投影。则，序列<math>\{e_n\}_n</math>是<math>K(H)</math>的近似单位。

<math>K(H)</math>是<math>B(H)</math>的双侧闭理想。对可分希尔伯特空间，是唯一理想。[[商]]<math>B(H)/K(H)</math>称作[[卡尔金代数]]。

=== 交换C*-代数 ===
令''X''为[[局部紧]]豪斯多夫空间，其上在无穷远处为零的复值连续函数空间<math>C_0(X)</math>在逐点乘与加法下形成交换C*-代数<math>C_0(X)</math>。对合是逐点共轭。当且仅当''X''紧时，<math>C_0(X)</math>有乘法单位元。与其他C*-代数一样，<math>C_0(X)</math>有[[近似单位]]；对<math>C_0(X)</math>这是直接的：考虑''X''的紧子集直和，对每个紧''K''，令<math>f_K</math>为紧支撑函数， 且在''K''上等于1。根据适用于局部紧豪斯多夫空间的[[蒂策扩张定理]]，这样的函数是存在的。这样的函数序列<math>\{f_K\}</math>都是近似单位。

[[盖尔范德表示]]指出，交换C*-代数*-同构于代数<math>C_0(X)</math>，其中''X''是具备[[弱拓扑|弱*拓扑]]的[[特征标]]空间。此外，若<math>C_0(X)</math>[[同构]]于C*-代数<math>C_0(Y)</math>，则''X''、''Y''[[同胚]]。这一特征是[[非交换拓扑]]与[[非交换几何]]纲领的动机之一。

=== C*-包络代数 ===
给定巴拿赫*-代数''A''，具有[[近似单位]]，则有（在C*-同构意义上）唯一的C*-代数<math>\mathbb{E}(A)</math>与[[泛性质|万有]]的*-态射<math>\pi:\ A\to\mathbb{E}(A)</math>，即其他连续*-态射<math>\pi:\ A\to B</math>因子都唯一地通过π。代数<math>\mathbb{E}(A)</math>称作巴拿赫*-代数''A''的'''C*-包络代数'''。

局部紧群''G''的C*-代数尤为重要，定义为''G''的群代数的包络C*-代数。''G''的C*-代数提供了非阿贝尔情形下的一般[[调和分析]]，特别是，局部紧群的对偶定义为群C*-代数的主理想空间。

=== 冯诺依曼代数 ===
[[冯诺依曼代数]]在1960年代以前称作W*-代数，是一类特殊的C*-代数。它们需要在[[弱算子拓扑]]下封闭，这比范数拓扑更弱。

[[谢尔曼–武田定理]]表明，C*-代数都有泛包络W*-代数，使到W*-代数的任意同态都通过它。

== C*-代数的种类 ==
令''A''为C*-代数。''A''是I类，当且仅当对''A''的所有非退化表示π，<math>\pi(A)''</math>（即<math>\pi(A)</math>的双交换子）是I类冯诺依曼代数。实际上，只需考虑因子表示，即<math>\pi(A)''</math>是因子的表示。
局部紧群属于I类，当且仅当其群C*-代数是I类。

不过，若C*-代数具有非I类表示，则根据[[詹姆斯·格利姆]]的结果，它也有II类、III类的表示。因此，对C*-代数和局部紧群，只有I类和非I类的说法才有意义。

== C*-代数与量子场论 ==
[[量子力学]]中，通常用有单位元的C*-代数''A''描述物理系统；''A''的自伴元（<math>\forall x\in A,\ x^*=x</math>）被视为系统的可观测值。系统状态定义为''A''上的正泛函（<math>\mathbb{C}</math>线性映射<math>\varphi:\ A\to \mathbb{C},\ \forall u\in A,\ \varphi(u^*u)\ge 0</math>），使得<math>\varphi(1)=1</math>。若系统处于φ状态，则可观测值''x''的期望值为φ(''x'')。

[[代数量子场论|局部量子场论]]的Haag-Kastler公理化使用了这C*-代数方法，[[闵可夫斯基时空]]的开集都与一个C*-代数相关联。

== 另见 ==
* [[巴拿赫代数]]
* [[巴拿赫*-代数]]
* [[*-代数]]
* [[希尔伯特C*-模]]
* [[算子K理论]]
* [[算子系统]]，C*-代数的*-封闭[[有单位的|含幺]]子空间。
* [[盖尔范德–奈马克–西格尔构造]]
*[[若尔当算子代数]]
== 脚注 ==
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{citation|first=W.|last=Arveson|author-link=William Arveson|title=An Invitation to C*-Algebra|publisher=Springer-Verlag|year=1976|isbn=0-387-90176-0}}. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic [[functional analysis]].
* {{citation|first=Alain|last=Connes|author-link=Alain Connes|url=https://archive.org/details/noncommutativege0000conn|title=Non-commutative geometry|year=1994|isbn=0-12-185860-X|url-access=registration}}.  This book is widely regarded as a source of new research material, providing much supporting intuition, but it is difficult.
* {{citation|first=Jacques|last=Dixmier|author-link=Jacques Dixmier|title=Les C*-algèbres et leurs représentations|publisher=Gauthier-Villars|year=1969|isbn=0-7204-0762-1|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calgebras0000dixm}}. This is a somewhat dated reference, but is still considered as a high-quality technical exposition. It is available in English from North Holland press.
* {{citation|last1=Doran|first1=Robert S.|author-link=Robert S. Doran|first2=Victor A.|last2=Belfi|title=Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems|publisher=CRC Press|year=1986|isbn=978-0-8247-7569-8}}.
* {{citation|first=G.|last1=Emch|title=Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory|publisher=Wiley-Interscience|year=1972|isbn=0-471-23900-3}}. Mathematically rigorous reference which provides extensive physics background.
*{{springer|id=c/c020020|title=C*-algebra|author=A.I. Shtern}}
* {{citation|first=S.|last=Sakai|author-link=Shoichiro Sakai|title=C*-algebras and W*-algebras|publisher=Springer|year=1971|isbn=3-540-63633-1}}.
*{{citation|first=Irving|last=Segal|author-link=Irving Segal|title=Irreducible representations of operator algebras|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|year=1947|volume=53|pages=73–88|doi=10.1090/S0002-9904-1947-08742-5|issue=2|doi-access=free}}.

* J. Dixmier, ''C*-Algebras'', North-Holland, 1977 (a translation of ''Les C*-algèbres et leurs représentations'')
* J.  Dixmier, ''Les C*-algèbres et leurs représentations'', Gauthier-Villars, 1969.
* J. Glimm, ''Type I C*-algebras'', Annals of Mathematics, vol 73, 1961.
* G. Mackey, ''The Theory of Group Representations'', The University of Chicago Press, 1955.

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[[Category:泛函分析]]
[[Category:理论物理]]