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1930年[[哈斯凱爾·加里]]在他的博士论文《Grundlagen der kombinatorischen Logik》中提议了一个[[組合子邏輯]]系統。它带有基本组合子'''B'''、'''C'''、'''K'''和'''W'''（采用了现在的命名）。

== 定義 ==
* '''B''' x y z = x(y z)
* '''C''' x y z = x z y
* '''K''' x y = x
* '''W''' x y = x y y

直觉上，
* '''B''' x y是[[函数复合]]x <small>o</small> y
* '''C''' x y z交换[[參數_(程式設計)|参数]]y和z
* '''K''' x y忽略第二个参数y
* '''W''' x y复制参数y

在當代，只有兩個基本組合子'''K'''和'''S'''的[[SKI組合子演算]]成為了[[組合子邏輯]]的規范方式。'''B, C'''和'''W'''可以使用'''S'''和'''K'''表達為如下：
* '''B''' = '''S''' ('''K S''') '''K'''
* '''C''' = '''S''' ('''S''' ('''K''' ('''S''' ('''K S''') '''K''')) '''S''')('''K K''')
* '''K''' = '''K'''
* '''W''' = '''S S'''（'''K''' ('''S K K'''))

在另一個方向上，SKI可以依據B,C,K,W定義為：
* '''I''' = '''W K'''
* '''K''' = '''K'''
* '''S''' = '''B''' ('''B''' ('''B W''') '''C''') ('''B B''')<ref>[[Raymond Smullyan]]（1994）''Diagonalization and Self-Reference''. Oxford Univ. Press: 344, 3.6(d).</ref> = '''B''' ('''B B B W B''') '''C'''


== 與直覺主義邏輯的連結 ==
組合子 <math>B</math>, <math>C</math>, <math>K</math> 和 <math>W</math> 對應於眾所周知的[[命题逻辑#简单的公理系统|命題邏輯四公理]]：

:'''AB''': (''B'' → ''C'') → ((''A'' → ''B'') → (''A'' → ''C'')),
:'''AC''': (''A'' → (''B'' → ''C'')) → (''B'' → (''A'' → ''C'')),
:'''AK''': ''A'' → (''B'' → ''A''),
:'''AW''': (''A'' → (''A'' → ''B'')) → (''A'' → ''B'').

而函數應用對應於[[肯定前件]]
:'''MP''': 如果 A 且 A → B，則 B。

公理 AB, AC, AK 和 AW 以及函數應用規則 MP 對於[[直覺邏輯]]的蘊涵片段是完整的。為了使組合邏輯能模型化為直覺邏輯：
*[[经典逻辑|古典邏輯]]的[[蕴涵命题演算]]，需要與排中律相結合，例如，[[皮尔士定律]];
*完整的古典邏輯，需以組合子模擬到命題公式 F → A。


== 参见 ==

*[[组合子逻辑]]
*[[SKI組合子演算]]

== 引用 ==
*[[Hendrik Pieter Barendregt]]（1984）''The Lambda Calculus, Its Syntax and Semantics'', Vol. 103 in ''Studies in Logic and the Foundations of Mathematics''. North-Holland. ISBN 978-0-444-87508-2
* [[Haskell Curry]]（1930）"Grundlagen der kombinatorischen Logik," ''Amer. J. Math. 52'': 509-536; 789-834.
*{{cite book
| last = Curry
| first = Haskell B.
| coauthors = [[J. Roger Hindley]], and [[Jonathan P. Seldin]]
| title = Combinatory Logic Vol. II
| volume = 2
| year = 1972
| publisher = North Holland
| location = Amsterdam
| id = ISBN 978-0-7204-2208-5
}}
*[[Raymond Smullyan]]（1994）''Diagonalization and Self-Reference''. Oxford Univ. Press.
== 注釋 ==
<references/>

== 外部連結 ==
* Keenan, David C. (2001) "[https://web.archive.org/web/20080930210944/http://users.bigpond.net.au/d.keenan/Lambda/index.htm To Dissect a Mockingbird.]"
* Rathman, Chris, "[http://www.angelfire.com/tx4/cus/combinator/birds.html Combinator Birds.]{{Wayback|url=http://www.angelfire.com/tx4/cus/combinator/birds.html |date=20080917002340 }}"
* "[https://web.archive.org/web/20081029051502/http://cstein.kings.cam.ac.uk/~chris/combinators.html "Drag 'n' Drop Combinators (Java Applet).]"

[[Category:组合子逻辑]]