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[[數學]]上，'''阿廷群'''（或'''Artin group、稱廣義[[辮群]]）'''，是指有如下[[群的展示|展示]]的[[群]]：

:<math>\Big\langle x_1,x_2,\ldots,x_n \Big| \langle x_i, x_j \rangle^{m_{i,j}}=\langle x_j, x_i \rangle^{m_{j,i}}, i,j\in \{1,2,\ldots, n\}, i\neq j \Big\rangle</math>
其中
:<math>m_{i,j} = m_{j,i} \in \{2,3,\ldots, \infty\}</math>.

對<math>m < \infty</math>，<math>\langle x_i, x_j \rangle^m</math>表示長度為<math>m</math>的<math>x_i</math>和<math>x_j</math>的交錯積，以<math>x_i</math>開首。例如：
:<math>\langle x_i, x_j \rangle^3 = x_ix_jx_i</math>，
:<math>\langle x_i, x_j \rangle^4 = x_ix_jx_ix_j</math>。

若<math>m=\infty</math>，按慣例這表示<math>x_i</math>和<math>x_j</math>間沒有關係。

在整數<math>m_{i,j}</math>中加入<math>m_{i,i}=1</math>，可以組成一個[[對稱矩陣]]，稱為這個群的[[考克斯特矩陣]]（{{lang|en|Coxeter matrix}}）。在Artin群中加入所有形為<math>{x_i}^2=1</math>的關係，得到的[[商群]]是[[考克斯特群]]。這個考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和[[考克斯特矩陣]]。從Artin群到對應的考克斯特群的[[群同態]]的[[核 (代數)|核]]，稱為'''純阿廷群'''（{{lang|en|'''pure Artin group'''}}）。

==Artin群的類==
[[辮群]]是Artin群的一種，其考克斯特矩陣為<math>m_{i,i+1} = 3</math>，及當<math>|i-j|>1</math>時<math>m_{i,j}=2</math>。

用Artin群的考克斯特矩陣，可以定義出數類重要的Artin群：

===有限型Artin群===
若''M''是有限型考克斯特矩陣，使對應的[[考克斯特群]]''W'' = ''A''(''M'')是有限群，那麼Artin群''A'' = ''A''(''M'')稱為'''有限型Artin群'''（{{lang|en|'''Artin group of finite type'''}}）。其「不可約型」標記為''A''<sub>''n''</sub>&thinsp;, ''B''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''C''<sub>''n''</sub>&thinsp;, ''D''<sub>''n''</sub>&thinsp;, ''I''<sub>''2''</sub>(''n'')&thinsp;, ''F''<sub>''4''</sub>&thinsp;, ''E''<sub>''6''</sub>&thinsp;, ''E''<sub>''7''</sub>&thinsp;, ''E''<sub>''8''</sub>&thinsp;, ''H''<sub>''3''</sub>&thinsp;, ''H''<sub>''4''</sub>&thinsp;。一個有限型純Artin群，可以表現為'''C'''<sup>''n''</sup>中一個有限[[超平面配置]]的[[補集]]的[[基本群]]。[[皮埃爾·德利涅]]和Brieskorn-Saito用了這個幾何描述，算出''A''的[[中心 (群論)|中心]]、[[群上同調|上同調]]，及解出[[字問題]]和[[共軛問題]]。

===直角Artin群===
若矩陣''M''中除對角線外的元素都是2或&infin;，則對應的Artin群稱為'''直角Artin群'''（{{lang|en|'''right-angled Artin group'''}}）。這類Artin群常用以下的方式標記：任何一個有''n''個頂點的[[圖 (數學)|圖]] '''&Gamma;'''，頂點標記為1, 2, &hellip;, n，都可定義一個矩陣''M''，其中若''i''和''j''在'''&Gamma;'''中相連，則''m''<sub>''ij''</sub>&nbsp;=&nbsp;2，否則''m''<sub>''ij''</sub>&nbsp;=&nbsp;&infin;。與矩陣''M''對應的直角Artin群''A''('''&Gamma;''')有''n''個生成元''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, &hellip;, ''x''<sub>n</sub>及關係
: <math> x_i x_j = x_j x_i \quad </math>若''i''和''j''在<math>\Gamma</math>中相連。

直角Artin群包括了有限秩的[[自由群]]，對應無邊線的圖，及有限生成的[[自由阿貝爾群]]，對應[[完全圖]]。事實上每個秩為''r''的直角Artin群都是一個秩為''r''-1的直角Artin群的[[HNN擴張]]，兩個極端例子是[[自由積]]和[[直積]]。這個構造法有一個推廣稱為[[群的圖積]]（{{lang|en|graph product of groups}}）。直角Artin群是群的圖積的特例，其中每個頂點群都是秩1自由群（即無限[[循環群]]）。

Mladen Bestvina和Noel Brady建構了一個非正曲立方複形（{{lang|en|nonpositively curved cubical complex}}）''K''，其基本群是一個給定的直角Artin群''A''('''&Gamma;''')。他們在Artin群的幾何描述上用[[莫爾斯理論]]來論證，給出具有性質(FP<sub>2</sub>)的[[群的展示|非有限展示群]]的第一批例子。

== 其他Artin群 ==

若一個Artin群或一個[[考克斯特群]]的對應矩陣中，對所有''i'' ≠ ''j''都有''m''<sub>''i'', ''j''</sub> ≥ 3，稱這個群是大型（{{lang|en|large type}}）的；若對所有''i'' ≠ ''j''都有''m''<sub>''i'', ''j''</sub> ≥ 4，則稱這個群是超大型（{{lang|en|extra-large type}}）的。

[[凱尼斯·阿佩爾]]和P.E. Schupp探討Artin群的性質，證明了四條定理。這些定理之前已知對考克斯特群成立，而他們證明對Artin群也成立。他們發現可以使用[[小消去理論]]的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群，並可以把技巧改進來用在那些大型的群中。

他們證明的定理為：
# 設''G''為超大型Artin或考克斯特群。若''J'' ⊆ ''I''，則''G''<sub>''J''</sub>有一個展示由考克斯特矩陣''M''<sub>''J''</sub>定義，且''G''<sub>''J''</sub>在''G''中的廣義字問題可解。若''J'', ''K'' ⊆ ''I''則''G''<sub>''J''</sub> ∩ ''G''<sub>''K''</sub> = ''G''<sub> (''J'' ∩ ''K'')</sub>.
#超大型Artin群是[[扭元|無扭]]（即無有限目的元素）的。
# 設''G''為超大型Artin群，則集合{''a''<sub>''i''</sub><sup>2</sup> : ''i'' ∈ ''I''}自由生成''G''的一個自由子群。
# 超大型Artin或考克斯特群的共軛問題可解。

== 參考 ==
<references />
* [[Mladen Bestvina]], Noel Brady, ''Morse theory and finiteness properties of groups''. Invent. Math. 129 (1997), no. 3, 445-470.
* [[Pierre Deligne]], ''Les immeubles des groupes de tresses généralisés''. Invent. Math.  17  (1972), 273-302.
* [[Egbert Brieskorn]], Kyoji Saito, ''Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen''. Invent. Math. 17 (1972), 245--271.
* Ruth Charney, [http://people.brandeis.edu/~charney/papers/raagfinal.pdf An introduction to right-angled Artin groups]{{Wayback|url=http://people.brandeis.edu/~charney/papers/raagfinal.pdf |date=20141219084656 }}
* Montserrat Casals-Ruiz and Ilya V. Kazachkov, [http://arxiv.org/pdf/0810.4867v2.pdf On systems of equations over free partially commutative groups]{{Wayback|url=http://arxiv.org/pdf/0810.4867v2.pdf |date=20181212124022 }}
* Evgenii S. Esyp, Ilya V. Kazachkov, and Vladimir N. Remeslennikov, [http://arxiv.org/pdf/math/0512401.pdf Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups]{{Wayback|url=http://arxiv.org/pdf/math/0512401.pdf |date=20181212132455 }}
* Susan Hermiller, John Meier, [http://www.math.unl.edu/~shermiller2/webppr/graphproduct.pdf Algorithms and geometry for graph products of groups]{{Wayback|url=http://www.math.unl.edu/~shermiller2/webppr/graphproduct.pdf |date=20110125133608 }}
* Appel, Kenneth I., and P. E. Schupp. ''Artin Groups and Infinite Coxeter Groups.'' Inventiones Mathematicae 72.2 (1983): 201-220

[[分類:群論]]