查看“︁ARMA模型”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
}}
'''ARMA模型'''（{{Lang-en|'''A'''uto'''r'''egressive '''m'''oving '''a'''verage model}}，全稱：'''自我迴歸滑動平均模型'''）。是研究[[時間序列_(經濟學)|时间序列]]的重要方法，由[[自迴歸模型]]（简称AR模型）与[[移动平均模型]]（简称MA模型）为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：[[Panel研究]]中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

== 自我迴歸AR(''p'')模型 ==
:<math> X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t .\,</math>
自回归模型描述的是当前值与历史值之间的关系。
:其中：<math>c</math>是[[常數]]項；<math>\varepsilon_t</math>被假設為[[平均數]]等於0，[[標準差]]等於<math>\sigma</math>的[[隨機]]誤差值；<math>\varepsilon_t</math>被假設為對於任何的<math>t</math>都不變。

== 移动平均MA(''q'')模型 ==
:<math> X_t = \mu + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}\,</math>
移动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。
:其中 μ 是序列的均值，''θ''<sub>1</sub>,..., ''θ''<sub>''q''</sub> 是参数，''ε''<sub>''t''</sub> , ''ε''<sub>''t''-1</sub>,..., ''ε''<sub>''t''−q</sub> 都是 [[白雜訊|白噪声]]。

== ARMA(''p'',''q'')模型 ==
ARMA(''p'',''q'')模型中包含了''p''個自回归项和''q''個移动平均项，ARMA(''p'',''q'')模型可以表示为：

:<math> X_t = c + \varepsilon_t +  \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{j=1}^q \theta_j \varepsilon_{t-j} \ </math>

=== ARMA滞后算子表示法 ===

有时ARMA模型可以用滞后算子（Lag operator）<math>L</math> 来表示，<math>L^i X_t = X_{t-i}</math>。这样AR(''p'')模型可以写成为：

:<math> \varepsilon_t = \left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t =  \varphi(L) X_t\,</math>

其中<math>\varphi</math>表示[[多项式]]

:<math> \varphi(L) = 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i \,</math>

MA(''q'')模型可以写成为： 

:<math> X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t = \theta(L) \varepsilon_t\,</math>

其中θ 表示[[多项式]]

:<math> \theta(L)= 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i \,</math>

最后，ARMA(''p'',''q'')模型可以表示为：

:<math> \left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t\,</math>

或者

:<math> \varphi(L) X_t = \theta(L) \varepsilon_t.\,</math>
若<math>\varphi(L)=1</math>,则ARMA过程退化为MA(q)过程
若<math>\theta(L)=1</math>,则ARMA过程退化为AR(p)过程。

== 相關條目 ==
*[[自迴歸模型]]（AR模型）
*[[向量自回归模型]]（VAR模型）
*[[ARIMA模型|差分自回歸滑動平均模型]]（ARIMA模型）
*[[格蘭傑因果關係]]（Granger Causality）



[[Category:計量經濟學]]
[[Category:統計學]]
[[Category:回歸分析]]
[[Category:时间序列]]
[[Category:信号处理]]