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{{noteTA
|G1=Math 
| 1=zh-cn:方差; zh-tw:變異數;
}}
'''ARCH模型'''（{{Lang-en|'''A'''uto'''r'''egressive '''c'''onditional '''h'''eteroskedasticity model}}，全称：'''自我迴歸條件異質變異數模型'''），解决了传统的[[计量经济学]]对[[时间序列]]变量的第二个假设（[[變異數]]恆定）所引起的问题。这个模型是获得2003年[[诺贝尔经济学奖]]的[[计量经济学]]成果之一。

== 起源 ==
传统的[[计量经济学]]对[[时间序列]]变量的第二个假设：假定[[时间序列]]变量的波动幅度（[[方差]]）是固定的，不符合实际，比如，人们早就发现[[股票]][[收益]]的波动幅度是随时间而变化的，并非[[常数]]。这使得传统的[[时间序列]]分析对实际问题并不有效。

[[罗伯特·恩格尔]]在1982年发表在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中提出了ARCH模型解决了[[时间序列]]的波动性（volatility）问题，当时他研究的是[[英国]][[通货膨胀率]]的波动性。

== ARCH模型内涵 ==
以<math> \varepsilon_t </math>表示收益或者收益残差，假设<math> \varepsilon_t=\sigma_t z_t </math>，此处<math> z_t\sim iid\ N(0,1) </math>（即[[独立同分布]]，均符合[[期望]]为0，[[方差]]为1的[[正态分布]]）此处序列<math> \sigma_t^2 </math>建模为
:<math> \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_p \varepsilon_{t-p}^2 </math>

（其中<math> \alpha_0>0 , \alpha_i\ge 0 , i>0 </math>，即各期[[收益]]以[[非负数]][[线性组合]]，[[常数项]]为[[正数]]。

== GARCH模型 ==
如果變異數用[[ARMA模型]]來表示，则ARCH模型的变形为[[GARCH模型]]（波勒斯勒夫（Bollerslev），1986年）。

GARCH（p，q）模型为
:<math> \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q \varepsilon_{t-q}^2 +\beta_1 \sigma_{t-1}^2+\cdots+\beta_p\sigma_{t-p}^2 </math>

=== IGARCH ===
IGARCH模型对GARCH的参数做了限制。IGARCH（p，q）模型可以表示为：
:<math> \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^p \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q \beta_i \sigma_{t-i}^2 </math>
:条件是：<math> \sum_{i=1}^p \alpha_i + \sum_{i=1}^q \beta_i =1 </math>

=== GARCH-M ===
GARCH-M模型把[[异方差]]项引入平均数方程式。一个简单的GARCH-M（1，1）模型可以表示为：

:<math>y_t = ~\gamma x_t + ~\phi~\sigma_{t-1} + ~\epsilon_t</math>

:<math> \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 </math>

残差项<math> ~\epsilon_t </math>定义为：

:<math> ~\epsilon_t\sim \ N(0,\sigma_t^2)</math>

== ARCH模型的应用 ==
ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在[[金融工程学]]的[[觀察研究|实证研究]]中应用广泛，使人们能更加准确地把握[[风险]]（波动性），尤其是应用在[[风险价值]]（Value at Risk）理论中，在[[华尔街]]是人尽皆知的工具。

== ARCH模型的变形和发展 ==
* 波勒斯勒夫（Bollerslev）提出[[GARCH模型]]（Generalized ARCH）；
* 利立安（Lilien）提出[[ARCH-M模型]]；
* 罗宾斯（Robbins）提出[[NARCH模型]]

== 参见 ==
* [[时间序列]]
* [[风险价值]]

[[Category:时间序列]]
[[Category:計量經濟學]]