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在数学中，'''斯梅尔A公理'''（Smale's axiom A）确定了一类相对容易理解的[[动力系统]]。一个著名的例子是[[马蹄映射|斯梅尔马蹄铁映射]]。术语“A公理”是[[斯蒂芬·斯梅爾|斯蒂芬·斯梅尔]]起的。

== 定义 ==
设M是[[微分流形|光滑流形]]，<math>f:M\to M</math>是M到自身的[[微分同胚]]。以下两个条件合在一起称为A公理：

# <math>f</math>的[[遊蕩集|非游荡集]]<math>\Omega(f)</math>是[[双曲集|双曲]]的[[紧空间|紧集]]。
# <math>f</math>的[[周期点]]在<math>\Omega(f)</math>中[[稠密集|稠密]]。

满足A公理的微分同胚称为'''A公理微分同胚'''。若M是二维曲面，则非游荡集的双曲性蕴含了周期点的稠密性，但对三维以上的流形则不成立。尽管如此，A公理微分同胚有时仍被称作'''双曲微分同胚'''，因为M上发生有趣的动力学的部分，即<math>\Omega(f)</math>，表现出双曲的行为。

A公理微分同胚是[[莫尔斯-斯梅尔系统]]的推广，后者有更多的限制（有限的周期点，稳定、不稳定子流形的横截性）。[[马蹄映射|斯梅尔马蹄铁映射]]是具有无限周期点和正的[[拓撲熵|拓扑熵]]的A公理微分同胚。

== 性质 ==
所有[[阿诺索夫微分同胚]]都满足A公理。对于这种情况，整个流形M就是双曲的（尽管还不知道非游荡集<math>\Omega(f)</math>是否构成了整个M）。

Rufus Bowen证明了A公理微分同胚的非游荡集<math>\Omega(f)</math>都有[[马尔可夫划分]]。

非游荡集中的周期点的稠密性蕴含了局部极大性：存在<math>\Omega(f)</math>的开邻域U使得

<math>\bigcap_{n\in\mathbb{Z}}{f^n(U)}=\Omega(f)</math>

== ω稳定性 ==
A公理系统有一个重要的性质：对微小扰动的结构稳定性。就是说，对系统施加一个微小的扰动，扰动后的系统与未扰动的系统之间有一对一的拓扑对应，把扰动后系统的轨道变成未扰动系统的轨道。这个性质的重要性在于，它表明了A公理系统不是特例，在某种意义上是“普遍的”。

更精确地说，对<math>f</math>的连续可微的[[摄动理论|扰动]]<math>f_\varepsilon</math>，非游荡集由两个紧致的<math>f_\varepsilon</math>-不变子集<math>\Omega_1,\Omega_2</math>组成。第一个子集同胚于<math>\Omega(f)</math>，同胚映射h满足：

<math>f_\varepsilon\circ h(x)=h\circ f(x),\quad\forall x\in\Omega(f)</math>

若<math>\Omega_2</math>是空集，则h是到<math>\Omega(f_\varepsilon)</math>上的满射。若对任意扰动<math>f_\varepsilon</math>都是这种情况则称f是'''ω稳定'''的。微分同胚<math>f</math>是ω稳定的当且仅当<math>f</math>满足A公理与'''无环条件'''（轨道一旦离开某个不变子集就不再返回这个子集）。

== 参考资料 ==

* Abraham and Marsden, ''Foundations of Mechanics'' (1978) Benjamin/Cummings Publishing, ''see Section 7.5''
* Ruelle, David (1978). ''Thermodynamic formalism. The mathematical structures of classical equilibrium''. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. '''5'''. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. <nowiki>ISBN 0-201-13504-3</nowiki>. Zbl 0401.28016.
* Ruelle, David (1989). ''Chaotic evolution and strange attractors. The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems''. Lezioni Lincee. Notes prepared by Stefano Isola. Cambridge University Press. <nowiki>ISBN 0-521-36830-8</nowiki>. Zbl 0683.58001.

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[[Category:微分拓扑学]]
[[Category:同胚]]