查看“︁5的算術平方根”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}

{{Infobox number
| range = <table style= "width:100%; margin:0;"><tr style="align:center;white-space: nowrap; ">
<td>[[數表]]—{{無理數}}</td>
</tr></table>
| name=5的平方根
| nav=no
| number=<math>\sqrt{5}</math>
| value=<math>\sqrt{5}\approx</math>2.236067977...
| root of=<math>x^{2}-5 = 0</math>
| symbol=<math>\sqrt{5}</math>
| other name=5的算-{}-術平方根<br/>5的-{主}-平方根<br/>根号5
| type=[[無理數]]
| OEIS=A002163
| 連分數=<math>2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}</math>{{noteGT|
令<math> \!\ x = 4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots}}}}</math>，
由觀察可知<math>x=4+\frac{1}{x}</math>，即<math>x^2-4x-1=0</math>，
解方程，取正根，得<math>x=2+\sqrt{5}</math>，
因此<math>\sqrt{5}=x-2= 2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots}}}}</math>。}}
| basedata = {{Infobox number/base
| 二進制 = {{FractionalGaps|{{進制|2|2.23606797749978969640917366873127|precision=24}}|4|…}}
| 十進位 = {{FractionalGaps|2.236067977499789696409173|4|…}}
| 十六進位 = {{FractionalGaps|{{進制|16|2.23606797749978969640917366873127|precision=24}}|4|…}}}}
}}
'''5的算術平方根'''是一个正的[[实数]]，為[[无理数]]<ref>Dauben, Joseph W. (June 1983) [[Scientific American]] ''Georg Cantor and the origins of transfinite set theory.'' Volume 248; Page 122.</ref>，一般称为“根号5”，记为
<math>\sqrt{5}</math>。<math>\sqrt{5}</math>[[乘以]]它本身的值为[[5]]。

<math>\sqrt{5}</math>和[[黄金分割|黃金比值]]有關。5的算术平方根數值为：

:{{FractionalGaps|2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 7|4|…}} {{OEIS|id=A002163}}

可以四捨五入為2.236，有99.99%的準確度。截至1994年4月，其数值在小数点后已计算到至少100万个位数<ref>R. Nemiroff and J. Bonnell: ''[http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt5.1mil The first 1 million digits of the square root of 5] {{Wayback|url=http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt5.1mil |date=20110105162044 }}''</ref>。

==連分數表示法==

<math>\sqrt{5}</math>可以表示為[[連分數]][2; 4, 4, 4, 4, 4...] {{OEIS|id=A040002}}。[[连分数#最佳有理数逼近|最佳有理数逼近]]的數列如下：

:<math>{\color{OliveGreen}\frac{2}{1}}, \frac{7}{3} , {\color{OliveGreen}\frac{9}{4}} , \frac{20}{9} , \frac{29}{13} , {\color{OliveGreen}\frac{38}{17}} , \frac{123}{55} , {\color{OliveGreen}\frac{161}{72}} , \frac{360}{161} , \frac{521}{233} , {\color{OliveGreen}\frac{682}{305}} , \frac{2207}{987} , {\color{OliveGreen}\frac{2889}{1292}}, \dots</math>

綠色的數字是<math>\sqrt{5}</math>的連分數的渐近分数，其分子為數列{{OEIS2C|id=A001077}}，而分母則為數列{{OEIS2C|id=A001076}}。其他黑色的數字則是[[连分数#半收敛子|半收斂]]的部份。

==牛頓法==

可以利用[[平方根#牛頓法|牛頓法]]計算<math>\sqrt{5}</math>，利用<math>r_{n+1}=\frac{r_n+\frac{5}{r_n}}{2}</math>的公式，啟始值<math>r_0=2</math>，第<math>n</math>個近似值<math>r_n</math>等於最佳有理数逼近數列中第<math>2n</math>個收斂的有理數：

:<math>\frac{2}{1} = 2.0,\quad \frac{9}{4} = 2.25,\quad \frac{161}{72} = 2.23611\dots,\quad \frac{51841}{23184} = 2.2360679779 \ldots</math>

== 和黃金比例及費氏數列的關係==
[[Image:Golden Rectangle Construction.svg|thumb|邊長為1正方形的一半，形成的長方形對角線長為{{Serif|{{SquareRoot|5}}/2}}，此特性可用在[[黃金矩形]]的繪製]]
[[黃金比例]]<math>\varphi</math>是<math>\sqrt{5}</math> 和1的[[算术平均數]]<ref>Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) [[New York Times]] ''Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty.'' Section: C; Page 1. <!--(註-this is a widely cited article)---></ref>。<math>\sqrt{5}</math> 、黃金比例和[[共軛黃金比例]]（<math>\Phi = 1 / \varphi = \varphi - 1</math>）之間的[[代數]]關係可以用以下幾個數學式來表示：

:<math>\sqrt{5} = \varphi + \Phi = 2\varphi - 1 = 2\Phi + 1</math>

:<math>\varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}</math>

:<math>\Phi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.</math>

[[斐波那契数列]]也可以用包括<math>\sqrt{5}</math>及黃金比例的式子來表示：

:<math>F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}.</math>

<math>\sqrt{5}</math> 除以<math>\varphi</math>得到的商（或<math>\sqrt{5}</math>和Φ的積）及其倒數的連分數有特別的模式，而且和費氏數列及[[盧卡斯數]]的比值有關<ref>Richard K. Guy: "The Strong Law of Small Numbers". ''American Mathematical Monthly'', vol. 95, 1988, pp. 675–712</ref>：

:<math>\frac{\sqrt{5}}{\varphi} = \Phi \cdot \sqrt{5} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} = 1.3819660112501051518\dots = [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots]</math>

:<math>\frac{\varphi}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\Phi \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} = 0.72360679774997896964\dots = [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots].</math>

其有理數逼近的數列，分子及分母分別為費氏數列及盧卡斯數：

:<math>{1, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{7}{5}, \frac{11}{8}, \frac{18}{13}, \frac{29}{21}, \frac{47}{34}, \frac{76}{55}, \frac{123}{89}}, \dots \dots [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots]</math>

:<math>{1, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{8}{11}, \frac{13}{18}, \frac{21}{29}, \frac{34}{47}, \frac{55}{76}, \frac{89}{123}}, \dots \dots [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1,\dots].</math>

== 幾何上的意義 ==
在[[幾何學]]上，利用[[勾股定理]]可以證明長為2、宽为1的[[長方形]]，其[[對角線]]长度為<math>\sqrt{5}</math>。將一個[[正方形]]切成二等份或將二個正方形併在一起都可以產生上述的長方形。

以上的作法配合<math>\sqrt{5}</math>及黃金比例<math>\varphi</math>之間的代數關係，可以繪製[[黃金矩形]]，而一個正[[五邊形]]的對角線和邊長的比例也恰為黃金比例，因此也可在已知邊長的條件下，繪製正五邊形。

若一[[直角三角形]]的[[直角邊]]分別為<math>\sqrt{2}</math>和<math>\sqrt{3}</math>，其[[斜邊]]長度則為<math>\sqrt{5}</math>。

一個長寬比例為<math>1:\sqrt{5}</math>的長方形稱做「根号5矩形」，是根矩形的一種，屬於{{le|動態矩形|dynamic rectangle}}的一類。動態矩形是一系列的矩形，由一個正方形開始，以前一個矩形的對角線為下一個矩形的長邊，因此長邊依序為<math>\sqrt{1}</math> (= 1), <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{4}</math> (= 2), <math>\sqrt{5}</math>...<ref>{{Citation 
| url = http://books.google.com/?id=1KI0JVuWYGkC&pg=PA41&dq=intitle:%22Geometry+of+Design%22+%22root+5%22 
| author = Kimberly Elam 
| title = Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition 
| place = New York 
| publisher = Princeton Architectural Press 
| year = 2001 
| isbn = 1568982496 }}</ref>。

根号5矩形之所以特別，是因為可以分割成一個正方形及二個大小相同的黃金矩形（二邊長為<math>\Phi\times 1</math>），或是二個大小不同的黃金矩形（二邊長分別為<math>\Phi\times 1</math>及<math>1\times \varphi</math>）<ref>{{Citation | title = The Elements of Dynamic Symmetry
 | author = Jay Hambidge | publisher = Courier Dover Publications | year = 1967 | isbn = 0486217760 | url = http://books.google.com/?id=VYJK2F-dh2oC&pg=PA26&dq=%22root+five+rectangle%22++section+inauthor:hambidge }}</ref>。也可以變成二個大小相同、有重疊部份的黃金矩形（二邊長為<math>1 \times \varphi</math>），其重疊部份恰好形成一個正方形。上述的特性都是因為<math>\sqrt{5}</math>, <math>\varphi</math>及<math>\Phi</math>之間的代數關係所產生。

== 和丟番圖逼近的關係 ==
[[丟番圖逼近]]中的{{le|Hurwitz定理|Hurwitz's theorem (number theory)}}說明每個[[無理數]]''x''可以被無窮多個[[有理數]]的[[最簡分數]]''m''/''n''近似，且滿足以下的不等式

:<math> \left|x - \frac{m}{n}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}\,n^2} </math>

此處的<math>\sqrt{5}</math>是最佳可能的常數，若選擇其他較<math>\sqrt{5}</math>大的常數，就會存在一些無理數''x''，只存在有限多個滿足上述不等式的有理數最簡分式<ref>{{Citation | last1=LeVeque | first1=William Judson | title=Topics in number theory | publisher=Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass. | id={{MathSciNet | id = 0080682}} | year=1956}}</ref>。

另一個定理也和上述定理有關<ref name=khinchin/>，任意三個針對無理數<math>\alpha</math>的連續收斂有理數逼近
<math>\frac{p_i}{q_i}</math>,
<math>\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}</math>,
<math>\frac{p_{i+2}}{q_{i+2}}</math>,
以下的不等式至少會有一個成立：

:<math>\left|\alpha - {p_i\over q_i}\right| < {1\over \sqrt5 q_i^2}, \qquad
\left|\alpha - {p_{i+1}\over q_{i+1}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+1}^2}, \qquad
\left|\alpha - {p_{i+2}\over q_{i+2}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+2}^2}.
</math>

而分母的<math>\sqrt{5}</math>也是最佳可能的常數，在逼近黃金比例時，此常數可以使左側的差值任意的逼近右側的數值。即使考慮四個或更多個連續的有理數逼近，也無法找到其他常數，可以使上界數值更小且滿足類似條件<ref name=khinchin>{{Citation | last1=[[A. Ya. Khinchin|Khinchin]] | first1=Aleksandr Yakovlevich | title=Continued Fractions | publisher = University of Chicago Press, Chicago and London | year = 1964}}</ref>。

== 抽象代數中的意義 ==

[[環 (代數)|環]] <math>\mathbb{Z}\left[\,\sqrt{-5}\,\right]</math>中的數均可表示為<math> a\, +\, b\sqrt{-5}</math>的形式，其中<math>a</math>和<math>b</math>為[[整數]]，而<math> \sqrt{-5}</math>為[[虛數]]<math> i\sqrt{5}</math>。此環是一個[[整環]]，但不是[[唯一分解整環]]。例如在此環中，6的質因數分解方式就有二種：

: <math>6 = 2 \cdot 3 = \left(1 - \sqrt{-5}\right)\left(1 + \sqrt{-5}\right). \, </math>

[[代數數域]] <math>\mathbb{Q}\left[\,\sqrt{5}\,\right]</math>和其他[[二次域]]一様，都是有理數的[[代数扩张]]，因此依{{le|克罗内克－韦伯定理|Kronecker–Weber theorem|Kronecker–Weber theorem}}可證明5的平方根可以表示為[[單位根]]的有理線性組合：

:<math>\sqrt5 = e^{\frac{2\pi i}{5}} - e^{\frac{4\pi i}{5}} - e^{\frac{6\pi i}{5}} + e^{\frac{8\pi i}{5}}. \, </math>

== 拉马努金的恆等式 ==

數學家[[拉马努金]]發現的許多連分數恆等式都和<math>\sqrt{5}</math>有關<ref>{{Citation | last1=Ramanathan | first1=K. G. | title=On the Rogers-Ramanujan continued fraction | id={{MathSciNet | id = 813071}} | year=1984 | journal=Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences | issn=0253-4142 | volume=93 | issue=2 | pages=67–77 | doi=10.1007/BF02840651}}</ref><ref>{{Citation | url=http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html | author=Eric W. Weisstein | title=Ramanujan Continued Fractions | accessdate=2010-12-19 | archive-date=2011-01-24 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110124035543/http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html | dead-url=no }} at [[MathWorld]]</ref>。

例如以下的{{le|羅傑·拉馬努金連分數|Rogers–Ramanujan continued fraction}}：

:<math>
\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}}
= \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{\frac{2\pi}{5}} = e^{\frac{2\pi}{5}}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right)
</math>

<!-- 在二個複雜的[[Tex]]中增加空白行，以增加可讀性-->

:<math>
\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}}
= \left( {\sqrt{5} \over 1 + \left[5^{\frac{3}{4}}(\varphi - 1)^{\frac{5}{2}} - 1\right]^{\frac{1}{5}}} - \varphi \right)e^{\frac{2\pi}{\sqrt{5}}}
</math>

<!-- 在二個複雜的[[Tex]]中增加空白行，以增加可讀性-->

:<math>
4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx
= \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}.
</math>

== 参见 ==
* [[2的算術平方根]]
* [[3的算術平方根]]
* [[平方根]]
* [[无理数]]

== 註釋 ==
{{noteGF}}

== 参考資料 ==
{{reflist}}

{{無理數導航}}
{{代數數}}

[[Category:代数数]]
[[Category:数学常数]]
[[Category:无理数]]
[[Category:初等代数]]