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{{DISPLAYTITLE|3''x'' + 1半群}}
在[[代數學]]中，'''3''x'' + 1半群'''是所有正[[有理數]]形成的乘法[[半群]]中一個特殊的[[半群|子半群]]。<ref name="Applegate">{{cite journal | last1 = Applegate | first1 = David | author1-link = David Applegate | last2 = Lagarias | first2 = Jeffrey C. | author2-link = Jeffrey Lagarias | doi = 10.1016/j.jnt.2005.06.010 | issue = 1 | journal = Journal of Number Theory | mr = 2204740 | pages = 146–159 | title = The {{math|3''x'' + 1}} semigroup | volume = 117 | year = 2006}}</ref>這個半群生成集裡的元素和尚未解決的[[考拉茲猜想]]中涉及的數列有關。

3''x'' + 1半群曾經被用以證明考拉茲猜想一個較弱的形式。事實上正是因為如此，H. Farkas才會在2005年提出這個概念。<ref>{{cite book|last1=H. Farkas|title="Variants  of  the 3 N + 1 problem  and  multiplicative  semigroups", Geometry, Spectral Theory, Groups and Dynamics: Proceedings in Memor y of Robert Brooks|date=2005|publisher=Springer}}</ref>

3''x'' + 1半群大部分的推廣形式都已被構造並研究過了。<ref name="Ana">{{cite web|last1=Ana Caraiani|title=Multiplicative Semigroups Related to the 3x+1 Problem|url=https://web.math.princeton.edu/~caraiani/papers/semigroups.pdf|publisher=Princeton University|accessdate=17 March 2016|archive-date=2015-10-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20151014084328/http://web.math.princeton.edu/~caraiani/papers/semigroups.pdf|dead-url=no}}</ref>

==定義==
3''x'' + 1半群是一個由正有理數形成的乘法半群，並由集合
:<math>\{2\}\cup \left\{\frac{2k+1}{3k+2} : k\geq 0\right\}=\left\{ 2, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \frac{7}{11},\ldots \right\}</math>
生成。

函數''T'' : ''Z'' → ''Z''被定義為[[考拉茲猜想]]的簡化版本：

:<math>T(n)=\begin{cases} \frac{n}{2} & \text{如 果 } n \text{ 是 偶 數 }\\[4px] \frac{3n+1}{2} & \text{如 果 } n \text{ 是 奇 數 }\end{cases}</math>

考拉茲猜想斷言對每個正整數''n''，總是可以透過重複迭代''T''的方式將''n''映射到1。換句話說，總是存在一個整數''k''使得''T''<sup>(''k'')</sup>(''n'') = 1。

舉例來說：若''n'' = 7，則對''k'' = 1, 2, 3,...，''T''<sup>(''k'')</sup>(''n'')的值就是11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1，當中''T''<sup>(11)</sup>(7) = 1。

3''x'' + 1半群和考拉茲猜想的關聯在於，3''x'' + 1半群也能由集合

:<math> \left\{ \dfrac{n}{T(n)} : n>0 \right\}</math>

生成。

==弱考拉茲猜想==
弱考拉茲猜想斷言，3''x'' + 1半群包含了所有的正整數。

這個猜想由Farkas提出，並因為3''x'' + 1半群本身的性質（如下）而被證明為真：<ref name=Applegate/>

:若''b'' ≠ 0 (mod 3)，則3''x'' + 1半群等價於正有理數{{sfrac|''a''|''b''}}的集合。特別的，3''x'' + 1半群也會包含所有正整數。

==野蠻半群==
由集合

:<math>\left\{\frac{1}{2}\right\}\cup \left\{\frac{3k+2}{2k+1}:k\geq 0\right\},</math>

或集合

:<math>\left\{\frac{T(n)}{n}: n>0\right\},</math>

生成的半群稱作野蠻半群。野蠻半群裡的整數''m''皆滿足''m'' ≠ 0 (mod 3)。<ref>{{cite journal|last1=J.C. Lagarias|title=Wild and Wooley numbers|journal=American Mathematical Monthly|date=2006|volume=113|doi=10.2307/27641862|url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/lagarias97.pdf|accessdate=18 March 2016|archive-date=2015-09-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20150912035531/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/lagarias97.pdf|dead-url=no}}</ref>

==相關條目==
*{{le|野蠻數|Wild number}}

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:半群論]]
[[Category:算術]]
[[Category:整數數列]]
[[Category:數論]]