查看“︁3的算術平方根”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{infobox number
| is integer = no
| image={{無理數}}<br>[[File:Equilateral triangle with side 2.svg|250px]]
| image_caption=邊長為2的[[正三角形]]高為3的平方根
| OEIS=A002194
| name=3的主平方根
| number=1.7320508075688772935
| root of=<math>x^{2}-3 = 0</math>
| 連分數=<math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}</math>{{noteGT|
令<math> \!\ x = 2 +\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}} </math>，
由觀察可知<math>x=2+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}</math>，即<math>x^2-2x-2=0</math>，
解方程，取正根，得<math>x=1+\sqrt{3}</math>，
因此<math>\sqrt{3}=x-1= 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}</math>。}}
| basedata = {{Infobox number/base
| 二進制 = {{FractionalGaps|{{進制|2|1.73205080756887729352744634150587|precision=24}}|4|…}}
| 十進位 = {{FractionalGaps|1.732050807568877293527446|4|…}}
| 十六進位 = {{FractionalGaps|{{進制|16|1.73205080756887729352744634150587|precision=24}}|4|…}}}}
}}
'''3的算術平方根'''是一个正的[[实数]]，它的[[平方]]等于[[3]]，记为：

:<math>\sqrt{3}</math>。

其最初60个数字为：
:1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 5580... {{OEIS|id=A002194}}

它是一个[[无理数]]，近似值分別為:<math>2</math>、<math>\frac{7}{4}</math>、<math>\frac{26}{15}</math>、<math>\frac{97}{56}</math>、<math>\frac{362}{209}</math>、<math>\frac{1351}{780}</math>、<math>\frac{131719}{76048}</math>。

== 几何学 ==

如果把一个边长为1的等边三角形切成两个全等的直角三角形，则直角三角形的[[斜边]]长度为1，直角边为<math>\tfrac{1}{2}</math>和<math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math>。因此，60度的[[正切]]等于<math>\sqrt{3}</math>

它是边长为1的正[[六边形]]的互相[[平行]]的两边之间的距离。

如图：

[[File:RegularSix1-1.png]]

在边长为1的正六边形<math>ABCDEF</math>中, <math>BD=\sqrt{3}.</math>


它是[[单位立方体]]（棱长为1的立方体）的对角线长度。

如图：

[[File:RegularSix1-2.png]]

在棱长为1的立方体<math>ABCD-A_1B_1C_1D_1</math>中, <math>AC_{1}=\sqrt{3}.</math>

== 参见 ==
* [[2的算術平方根]]
* [[5的算術平方根]]
* [[平方根]]
* [[无理数]]

== 註釋 ==
{{noteGF}}

== 参考文献 ==

* M. F. Jones, "22900D approximations to the square roots of the primes less than 100", ''Math. Comp'' '''22''' (1968): 234 - 235. 
* H. S. Uhler, "Approximations exceeding 1300 decimals for <math>\sqrt{3}</math>, <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>, <math>\sin(\frac{\pi}{3})</math> and distribution of digits in them" ''Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.'' '''37''' (1951): 443 - 447.
* Wells, D. ''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers'' Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 23

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20081216105255/http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/Mathematical_Thinking/irrationality_of_3.htm 证明3的平方根是无理数]
* [http://mathworld.wolfram.com/TheodorussConstant.html MathWorld]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/TheodorussConstant.html |date=20200318161900 }}

{{無理數導航}}
{{代數數}}

[[Category:代数数]]
[[Category:数学常数]]
[[Category:无理数]]
[[Category:初等代数]]