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'''2i进制'''，是由[[高德纳]]于1995年提出来的，当时用作高中科学精英研究用。它是一种以[[2i]]为[[底数_(进制)|基数]]的非标准[[进位制]]。这种进制以0、1、2、3为基本[[數碼]]<ref name="knuth1960">{{cite journal|title=An imaginary number system|journal=Communications of the ACM|volume=3|issue=4|date=April 1960|author=Donald Knuth|authorlink1=Donald Knuth }}</ref>，能够独一无二的表示全体[[复数 (数学)|复数]]。

==转换2i进制到十进制==
<div class="thumb tright"><div style="width:8em;">
{| class="wikitable" style="width:100%; margin:0;"
|+ {{math|2''i''}}的冪
!''k''
!(2''i'')<sup>''k''</sup>
|-
|align="center"| -5 || align="center"|  &minus;1/32''i''
|-
|align="center"| -4 || align="center"|  1/16
|-
|align="center"| -3 || align="center"|  1/8''i''
|-
|align="center"| -2 || align="center"|  &minus;1/4
|-
|align="center"| -1 || align="center"|  &minus;1/2''i''
|-
|align="center"| 0 || align="center"|  1
|-
|align="center"| 1 || align="center"|  2''i''
|-
|align="center"| 2 || align="center"|  &minus;4
|-
|align="center"| 3 || align="center"| &minus;8''i''
|-
|align="center"| 4 || align="center"| 16
|-
|align="center"| 5 || align="center"| 32''i''
|-
|align="center"| 6 || align="center"| &minus;64
|-
|align="center"| 7 || align="center"| &minus;128''i''
|-
|align="center"| 8 || align="center"| 256
|}
{{caption|{{math|2''i''}}的冪}}
</div></div>

将2i进制转换为[[十进制]]可以用标准[[公式]]。这个公式是：

<math>b</math>进制数<math>\ldots d_3d_2d_1d_0</math> 的[[十进制]]数为
:<math>\cdots + d_3\cdot b^3+d_2\cdot b^2+d_1\cdot b+d_0</math>

2i进制中，<math>b = 2i</math>。

===示例===
将 <math>1101_{2i}</math> 转换为[[十进制]]，可按照上述公式填入相应数字：
:<math>1\cdot(2i)^3 + 1\cdot(2i)^2 + 0\cdot(2i)^1 + 1\cdot(2i)^0 = -8i - 4 + 0 + 1 = -3 - 8i</math>

再比如： <math>1030003_{2i}</math> 十进制是
:<math>1\cdot(2i)^6 + 3\cdot(2i)^4 + 3\cdot(2i)^0 = -64 + 3\cdot 16 + 3 = -13</math>

==十进制转换到2i进制==
也能将[[十进制]]数转换为2i进制。 每个[[复数 (数学)|复数]]（形如''a''+''bi''） 都有个2i进制形式。 大多十进制数都只有1个形式，但像1这样的数在十进制中有两种形式[[0.999...|1.{{overline|0}} = 0.{{overline|9}}]]， 相对应的 <sup>1</sup>/<sub>5</sub>有两种2i进制形式：1.{{overline|0300}}<sub>2''i''</sub> = 0.{{overline|0003}}<sub>2''i''</sub>。

要转换十进制数，先将[[复数_(数学)#符号表示|实部]]和[[复数_(数学)#符号表示|虚部]]分别转换为2i进制数，然后加到一起即可。 比如， {{math|–1+4''i''}} 等于{{math|–1}} 加上 {{math|4''i''}}，{{math|–1}}的2i进制数是103， {{math|4''i''}}的2i进制数是20，因此 {{math|–1+4''i''}} = {{進制|2i|-1+4i|sub=4}}。

转换虚部时，可以先乘以{{math|2''i''}}，得到一个[[实数]]；然后将这个实数转换为2i进制，然后右移一位即可（等效于除以 {{math|2''i''}}）。 例如，虚部是 {{math|6''i''}}，先将{{math|6''i''}} 乘以{{math|2''i''}} 得到 {{math|–12}}，化为2i进制是{{進制|2i|-12|sub=4}}，然后右移一位，得到： {{math|6''i''}} = {{進制|2i|6i|sub=4}}。

转换[[实数]]，可以用[[方程组]]来求解。

===示例：实数===
我们来求解7的2i进制数。我们很难知道这个2i进制数有多长，所以我们先假设一个比较长的数。 我们先选六位试试，如果不够，我们再延长。
我们写出公式，然后分组：
:<math>
\begin{align}
7_{10}& = d_{0}+d_{1}\cdot b+d_{2}\cdot b^{2}+d_{3}\cdot b^{3}+d_{4}\cdot b^{4}+d_{5}\cdot b^{5} \\
& = d_{0}+2id_{1}-4d_{2}-8id_{3}+16d_{4}+32id_{5} \\
& = d_{0}-4d_{2}+16d_{4}+i(2d_{1}-8d_{3}+32d_{5}) \\
\end{align}
</math>
7是[[实数]]，因此''d<sub>1</sub>''、''d<sub>3</sub>'' 和 ''d<sub>5</sub>'' 是0。 剩下就是[[系数]]''d<sub>0</sub>''、''d<sub>2</sub>'' 和  ''d<sub>4</sub>''。 因为 d<sub>0</sub> − 4 d<sub>2</sub> + 16 d<sub>4</sub>  =  7 并且他们只能是 0、 1、 2 或 3 。可能的结果是： ''d<sub>0</sub>'' = 3,  ''d<sub>2</sub>'' = 3 ， ''d<sub>4</sub>'' = 1。 这样就找到了7<sub>10</sub>的2i进制数。

:<math>\begin{align} 7_{10} = 010303_{2i} = 10303_{2i}.\end{align}</math>

===示例: 虚数===
找一个[[复数 (数学)#符号表示|纯虚数]]的2i进制数，可以模拟实数的方法。 例如6''i'', 也可以用公式。实部全为零，虚部化为6。  6''i'' 很容易看出 ''d<sub>1</sub>'' = 3 其他各位都是0。6''i''就是：

:<math>\begin{align}6i_{10} = 30_{2i}\end{align}</math>

===其他的轉換方式===
對實數而言，2i进制表示法實際上與負四进制相同。要將複數{{math|''x''+''iy''}}轉換成2i进制可以透過將{{math|''x''}}和{{math|''y''/2}}分別轉換為負四进制再將之交錯合併來完成轉換成2i进制的工作。如果{{math|''x''}}和{{math|''y''}}都是有限的二进制小數，則可以使用連續的[[带余除法]]來將十进制數轉換成2i进制：

例如：35+23i={{進制|2i|35+23i|sub=4}}
<div style="width:100%; overflow:scroll;"><div style="width:800px; ">
                 35                                 23i/2i=11.5    11=12−0.5
             35÷(−4)=−8, 餘 3                12/(−4)=−3, 餘 0               (−0.5)×(−4)=2
             −8÷(−4)= 2, 餘 0                −3/(−4)= 1, 餘 1
              2÷(−4)= 0, 餘 2                 1/(−4)= 0, 餘 1
                2<small>0</small>0<small>0</small>3                    +     1<small>0</small>1<small>0</small>0<small>0</small>                         +  0.2 = 121003.2
                          32i+16×2−8i−4×0+2i×0+1×3−2×i/2=35+23i
</div></div>

==小数点“.”==
十进制中[[小数点]]用来区分[[整数]]部分和[[小数]]部分。2i进制中小数点一样可以用，比如<math>...d_{5}d_{4}d_{3}d_{2}d_{1}d_{0} . d_{-1}d_{-2}d_{-3}...</math> 中，小数点用来分割''b''的正数[[幂]]和負数幂。带小数点时，公式是：

:<math>d_5 b^5 + d_4 b^4 + d_3 b^3 + d_2 b^2 + d_1 b + d_0 + d_{-1} b^{-1} + d_{-2} b^{-2} + d_{-3} b^{-3}</math>
或
:<math>
32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+\frac{1}{2i}d_{-1}+\frac{1}{-4}d_{-2}+\frac{1}{-8i}d_{-3}</math>
<math>=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}-\frac{i}{2}d_{-1}-\frac{1}{4}d_{-2}+\frac{i}{8}d_{-3}</math>

===示例===
將i轉換為2i進制，没有小数点的话，可能没办法做到。因此：

:<math>
\begin{align}i & = 32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+\frac{1}{2i}d_{-1}+\frac{1}{-4}d_{-2}+\frac{1}{-8i}d_{-3}\\
& = i(32d_{5}-8d_{3}+2d_{1}-\frac{1}{2}d_{-1}+\frac{1}{8}d_{-3})+16d_{4}-4d_{2}+d_{0}-\frac{1}{4}d_{-2}\\
\end{align}
</math>

因為[[复数 (数学)#符号表示|实部]]为0，故 ''d<sub>4</sub> = d<sub>2</sub> = d<sub>0</sub> = d<sub>-2</sub> = 0''。<br/>
接著考慮[[复数 (数学)#符号表示|虚部]]部分，当 ''d<sub>5</sub> = d<sub>3</sub> = d<sub> -3</sub> = 0'' 并且 当 ''d<sub>1</sub>=1'' ， ''d<sub>-1</sub>=2'' 时结果正确。所以

:<math>\begin{align}i = 10.2_{2i}\end{align}</math>.

===示例（分數）===

將<math>\frac{1}{3}</math>轉換為2i進制，其結果為-0.{{overline|0203}}。

==加减法==
2i进制也可以做加减法。 首先要记住以下规则：

# 数字超过3时, ''减'' 4 "进" &minus;1 到左边第二位。
# 数字小于0时, ''加'' 4"进" +1 到左边第二位。

简单的说： 「加四进一、减四借一」（當作[[四進制]]來計算）。 和一般竖式加法不同的是，要借/进到左边第二位。
===示例：加法===
<pre>
   1 - 2i                1031             3 - 4i                 1023
   1 - 2i                1031             1 - 8i                 1001
   ------- +     <=>     ----- +          ------- +      <=>     ----- +
   2 - 4i                1022             4 - 12i               12320
</pre>
第一个例子，先是1+1=2。然后是3+3=6，6比3大，我们得减4借1。接着是0+0=0。然后是1+1=2，在减去借的1。得1。 

第二个例子，先是3+1=4; 4 比3大，我们得减4借1。然后是2+0=2。 接着是0+0=0，再减去借位1，得-1，小于0，我们得加四进一。 然后是1+1=2; 最后是进位1。我们得到结果<math>12320_{2i}</math>。

===示例：减法===
减法和加法类似。下面是例子：
<pre>
         - 2 - 8i                       1102
           1 - 6i                       1011  
           ------- -         <=>        ----- -
         - 3 - 2i                       1131
</pre>
这个例子中，先是2-1 = 1。 然后是0-1=-1，小于0，加4进1得3；接着是1-0=1。然后是1-1=0，加上进位得1。 结果就是 <math>1131_{2i}</math>。

==乘法==
乘法也要用到上面两点。先逐位相乘，然后叠加。比如：
              11201
              20121  x
              --------
              11201      <--- 1 x 11201
             12002       <--- 2 x 11201
            11201        <--- 1 x 11201
           00000         <--- 0 x 11201
          12002      +   <--- 2 x 11201
          ------------
          120231321
也就是 <math>(9-8i)\cdot(29+4i) = 293-196i</math>。

==查-{表}-转换==
下面是一个常用的[[复数 (数学)|复数]]对照表。我们可以用叠加的方法来转换复数

{{col-begin}}
{{col-break}}
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
!十进制!!2''i''进制
|-
|1||''&nbsp;''1 <!-- Note: ''&nbsp;'' required for proper vertical spacing -->
|-
|2||''&nbsp;''2
|-
|3||''&nbsp;''3
|-
|4||''&nbsp;''10300
|-
|5||''&nbsp;''10301
|-
|6||''&nbsp;''10302
|-
|7||''&nbsp;''10303
|-
|8||''&nbsp;''10200
|-
|9||''&nbsp;''10201
|-
|10||''&nbsp;''10202
|-
|11||''&nbsp;''10203
|-
|12||''&nbsp;''10100
|-
|13||''&nbsp;''10101
|-
|14||''&nbsp;''10102
|-
|15||''&nbsp;''10103
|-
|16||''&nbsp;''10000
|}
{{col-break}}
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
!十进制!!2''i''进制
|-
|−1||''&nbsp;''103
|-
|−2||''&nbsp;''102
|-
|−3||''&nbsp;''101
|-
|−4||''&nbsp;''100
|-
|−5||''&nbsp;''203
|-
|−6||''&nbsp;''202
|-
|−7||''&nbsp;''201
|-
|−8||''&nbsp;''200
|-
|−9||''&nbsp;''303
|-
|−10||''&nbsp;''302
|-
|−11||''&nbsp;''301
|-
|−12||''&nbsp;''300
|-
|−13||''&nbsp;''1030003
|-
|−14||''&nbsp;''1030002
|-
|−15||''&nbsp;''1030001
|-
|−16||''&nbsp;''1030000
|}
{{col-break}}
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
!十进制!!2''i''进制
|-
|1''i''||10.2
|-
|2''i''||10.0
|-
|3''i''||20.2
|-
|4''i''||20.0
|-
|5''i''||30.2
|-
|6''i''||30.0
|-
|7''i''||103000.2
|-
|8''i''||103000.0
|-
|9''i''||103010.2
|-
|10''i''||103010.0
|-
|11''i''||103020.2
|-
|12''i''||103020.0
|-
|13''i''||103030.2
|-
|14''i''||103030.0
|-
|15''i''||102000.2
|-
|16''i''||102000.0
|}
{{col-break}}
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
!十进制!!2''i''进制
|-
|−1''i''||0.2
|-
|−2''i''||1030.0
|-
|−3''i''||1030.2
|-
|−4''i''||1020.0
|-
|−5''i''||1020.2
|-
|−6''i''||1010.0
|-
|−7''i''||1010.2
|-
|−8''i''||1000.0
|-
|−9''i''||1000.2
|-
|−10''i''||2030.0
|-
|−11''i''||2030.2
|-
|−12''i''||2020.0
|-
|−13''i''||2020.2
|-
|−14''i''||2010.0
|-
|−15''i''||2010.2
|-
|−16''i''||2000.0
|}
{{col-end}}

==示例==


:<math>5 = 16 + (3\cdot-4) + 1 = 10301_{2i}</math>

:<math>i = 2i + 2\left(-\frac{1}{2}i\right) = 10.2_{2i}</math>

:<math>7 \frac{3}{4} - 7 \frac{1}{2}i = 1(16) + 1(-8i) + 2(-4) + 1(2i) + 3\left(-\frac{1}{2}i\right) + 1\left(-\frac{1}{4}\right) = 11210.31_{2i}</math>

==参见==
* [[四進制]]
* [[十六進制]]
* {{link-en|複進制|Complex base systems}}
* {{link-en|负进制|Negative base}}

==参考资料==
*D. Knuth. ''The Art of Computer Programming''. Volume 2, 3rd Edition. Addison-Wesley. pp. 205, "Positional Number Systems" <references/>

{{Pns}}
{{高德納}}

[[Category:进位制]]
[[Category:高德纳]]
[[Category:非标准进制系统]]