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{{NoteTA
|1=zh-cn:扑克牌; zh-hk:啤牌; zh-tw:撲克牌;
|2=zh-hans:大小王;zh-hant:鬼牌;
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{{refimprove|time=2014-01-03T14:27:54+00:00}}
'''24点'''游戏（在香港也稱「'''合廿四'''」）J、Q、和K去除，或当成10；还有一个版本是把J表示11，Q表示12，K代表13。

有些组合有多种算法，例如2，4，6，Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24，如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。

== 较有难度的24点 ==
虽然大多数24点存在很多解法，有相当一部分数字组合只存在單一的解法。这种组合往往较有难度，也较为有趣。这里总结一些常见的组合。

=== 分数或小数运算 ===
虽然给出4个数字都是整数，中间步骤中有时会出现分数或小数。这种4个数字的组合往往较有难度。一个经典的例子是1，5，5，5，其解答为5×(5 − 1 ÷ 5) = 24；另外
一个例子是3，3，8，8，其解答为8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因为后者用到了两次除法，其解法比较难以想到。另外一些类似的组合为：

{| class="prettytable" style = "width:720px; font-size:85%; margin-left:15px; text-align:left; font-family:'lucida console',courier"
!width="140"| 数字组合
! 解法 
! 数字组合
! 解法
|-
| &nbsp;2, &nbsp;4, 10, 10  
|(2 + 4 ÷ 10)×10
| &nbsp;2, &nbsp;5, &nbsp;5, 10 
| (5 − 2 ÷ 10)×5
|-
| &nbsp;2, &nbsp;7, &nbsp;7, 10 
| (2 + 10 ÷ 7)×7
| &nbsp;3, &nbsp;3, &nbsp;7, &nbsp;7 
| (3 + 3 ÷ 7)×7
|-
| &nbsp;4, &nbsp;4, &nbsp;7, &nbsp;7 
| (4 − 4 ÷ 7)×7
| &nbsp;2,  &nbsp;2,  11,  11  
| (2 + 2 ÷ 11)×11
|-
| &nbsp;2,  &nbsp;2,  13, 13  
| (2 − 2 ÷ 13)×13
| &nbsp;1,  &nbsp;3,  &nbsp;4,  &nbsp;6 
| 6 ÷ (1 − 3 ÷ 4)
|-
| &nbsp;2,  &nbsp;3,  &nbsp;5,  12  
| 12 ÷ (3 − 5 ÷ 2)
| &nbsp;1,  &nbsp;8,  12,  12  
| 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1)
|-
|}

=== 大数／奇数运算 ===
大多数组合中，中间步骤只会涉及到一些较小的数字（≤32）。但是有些组合中会涉及到一些较大数字，这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10×10 − 4) ÷ 4 = 24，5、6、6、9的解法为6×9 − 5×6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度，比如6、9、9、10的解法为9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下：

{| class="prettytable" style = "width:720px; font-size:85%; margin-left:15px; text-align:left; font-family:'lucida console',courier"
!width="140"| 数字组合
! 解法
! 数字组合
! 解法
|-
| &nbsp;1, &nbsp;3, &nbsp;9, 10  
|(1 + 10)×3 − 9
| &nbsp;7, &nbsp;8, &nbsp;8, 10  
|10×8 − 7×8
|-
| &nbsp;9, 11, 12, 12  
|11×12 − 9×12
| &nbsp;1, &nbsp;2, &nbsp;7, &nbsp;7  
|(7×7 − 1) ÷ 2
|-
| &nbsp;3, &nbsp;8, &nbsp;8, 10  
|(8×10 − 8) ÷ 3
| &nbsp;4, &nbsp;8, &nbsp;8, 11  
|(8×11 + 8) ÷ 4
|-
| &nbsp;5, 10, 10, 13  
|(10×13 − 10) ÷ 5
| &nbsp;1, &nbsp;5, 11, 11  
|(11×11 - 1) ÷ 5
|-
| &nbsp;1, &nbsp;6, 11, 13  
|(11×13 + 1) ÷ 6
| &nbsp;1, &nbsp;7, 13, 13  
|(13×13 − 1) ÷ 7
|-
|}<br />
=== 计算复杂性排行 ===
下面 17 组是由计算机根据计算复杂性和结构找到的最难组合，完整的 566 组有解（多组解则取最简单的情况）情况如附录。

{| class="prettytable" style="width:720px; font-size:85%; margin-left:15px; text-align:left; font-family:'lucida console',courier"
! width="140" | 数字组合
! 解法
! 数字组合
! 解法
!数字组合
!解法
|-
| 1，3，4，6
|(6/(1-(3/4)))
| 1，2，7，7
|(((7*7)-1)/2)
|3，3，7，7
|(((3/7)+3)*7)
|-
| 1，4，5，6
|(4/(1-(5/6)))
| 3，5，10，10
|(3*(10-(10/5)))
|2，7，7，10
|(((10/7)+2)*7)
|-
| 3，3，8，8
|(8/(3-(8/3)))
| 3，8，8，10
|(((10*8)-8)/3)
|2，2，7，10
|(((10/2)+7)*2)
|-
| 1，6，6，8
|(6/(1-(6/8)))
| 4，4，10，10
|(((10*10)-4)/4)
|3，3，6，6
|(3*((6/3)+6))
|-
| 1，4，5，6
|(6/((5/4)-1))
| 1，5，5，5
|((5-(1/5))*5)
|2，4，10，10
|(10*((4/10)+2))
|-
|
|
|2，5，5，10
|((5-(2/10))*5)
|
|
|-
|
|
|4，4，7，7
|((4-(4/7))*7)
|
|
|}

== 24点的组合数学 ==
其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间，独立的数字组合数由[[组合#有重复的组合|有重复的组合数]]给出：
:<math>N = {K+3 \choose 4} = \frac{K(K+1)(K+2)(K+3)}{24} \,\!</math>。
譬如，如果最大的牌面数值为10，那么独立的数字组合为715个，远比10000要小；如果最大的牌面数值为13，那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。

可以用枚举证明，如果最大牌面数值为10，在715个组合中，有149个组合是没有解的。此外，如果我们随机的取4个1-10之间的数字，无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13，则会有458个组合无解（总数为1820）。

=== 推广 ===

24点游戏可以被推广到多张牌（n>4）的情形。通常我们假定这n张牌是从一副牌中选出的，也就是说，每个数字至多出现4次。比如在5张牌、最大数值为10的情况下，有1992种不同的组合方式。其中无解的比例大大降低，一共为如下37种。如果最大数值为13，则无解的总数扩大为80。

{| class="prettytable" style = "width:800px; font-size:85%; margin-left:15px; text-align:left; font-family:'lucida console',courier; "
|width="110"|1  1  1  1  2 
|1  1  1  1  3 
|1  1  1  1  4 
|1  1  1  1  5 
|1  1  1  2  2 
|1  1  1  2  3 
|-
|1  1  1  9  9 
|1  1  1  9 10 
|1  1  1 10 10 
|1  1  2  2  2 
|1  1  6  7  7 
|1  1  7  7  7 
|-
|1  1  9  9  9 
|1  1  9  9 10 
|1  1 10 10 10 
|1  5  9  9  9 
|1  6  7  7  7 
|1  7  7  7  7 
|-
|1  7  9  9  9 
|1  8  9  9 10 
|1  8  9 10 10 
|1  9  9  9  9 
|1  9  9  9 10 
|1  9  9 10 10 
|-
|1  9 10 10 10 
|1 10 10 10 10 
|2  9  9  9  9 
|3  5  5  5  5 
|4  9  9  9  9 
|6  7  7  7  7 
|-
|6 10 10 10 10 
|8  9  9  9 10 
|8  9  9 10 10 
|9  9  9  9 10 
|9  9  9 10 10 
|9  9 10 10 10 
|-
|9 10 10 10 10 
|-
|}

注意到，以上罗列的情形中并没有5个相同数字的组合，比如，5个1，这是因为一副牌最多只有4个相同数字的牌。

在6张牌的情况下，4905种不同的组合方式中仅有3种组合是无解的：1 1 1 1 2 2，9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7张牌的情况下，所有组合方式（10890种）都有解。

== 影响 ==
這游戏在[[中华人民共和国|中]][[美国|美]]两国都十分流行，也是课堂教学的内容之一。<ref>王萍萍, 吴兰,  贾梅. 一节“算24点”活动课的创新教育启示 《中学数学月刊》, 2015 (11) :13-16 {{ISSN|1004-1176}}</ref>

==参考==
{{reflist}}

== 參見 ==
*[[21点]]

[[Category:數學遊戲]]
[[Category:扑克牌游戏]]