查看“︁龐加萊對偶性”︁的源代码

[[數學]]上，'''龐加萊對偶'''定理是[[流形]]的[[同調]]及[[上同調]][[群]]的結構的基本定理，以[[昂利·龐加萊]]命名。這定理說若''M''是''n''維[[定向 (數學)|有向]][[閉流形]]（即[[緊緻集|緊緻]]且無邊界），則''M''的第''k''階[[上同調群]][[群同構|同構]]於''M''的第(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''k'')階[[同調群]]。對所有整數''k''
:<math>H^k(M) \cong H_{n-k}(M).</math>

龐加萊對偶定理於任何係數環都成立，只需在流形上相對於係數環而取定向。特別是由於流形於模2都有唯一定向，故於模2時龐加萊對偶定理不需假設定向就成立。

==歷史==
龐加萊對偶定理的一個形式最初由龐加萊於1893年提出，沒有證明。當時他用[[貝蒂數]]來表達：一個''n''維可定向閉流形的第''k''個和第(''n'' &minus; ''k'')個貝蒂數相等。其時未有上同調的概念，須待四十年後才得以釐清。龐加萊在1895年的論文《Analysis Situs》中嘗試用他創造的拓撲相交理論去證明定理。[[波爾·赫高]]對這篇論文的批評，令龐加萊發現他的證明有重大錯誤。龐加萊在論文的附錄首兩篇中，用對偶三角剖份給出新證明。

直至1930年代上同調概念出現，龐加萊對偶定理的現代形式才出現。[[愛德華·切赫]]和[[哈斯勒·惠特尼]]發明了[[杯積]]和[[笠積]]，用這些新概念表達龐加萊對偶定理。

==現代形式==
龐加萊對偶定理的現在形式是以同調和上同調給出：若''M''是閉有向''n''-流形，''k''是整數，則有從第''k''階上同調群''H''<sup>''k''</sup>(''M'')到第(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''k'')階同調群''H''<sub>''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''k''</sub>(''M'')的典範同構。（此處的同調和上同調取整數環為係數，但這個同構對任何係數環都成立。）更確切而言，這個同構將''H''<sup>''k''</sup>(''M'')的元素，映射到這個元素與''M''的一個[[基本類]]的[[杯積]]，而有向流形''M''都存在基本類。

對非緊緻有向流形，需把上同調用[[緊支上同調]]代替。

負數階的同調和上同調群定義為零，所以龐加萊對偶性推導出閉有向''n''-流形大於''n''階的同調和上同調群是零。

==參考==
{{Reflist}}

==深入閱讀==
*{{citation |first=R. C. |last=Blanchfield |title=Intersection theory of manifolds with operators with applications to knot theory |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=65 |issue=2 |year=1957 |pages=340–356 |jstor=1969966 }}
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link= Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link= Joe Harris (mathematician) | title=Principles of algebraic geometry | publisher=Wiley | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 | mr=1288523 | year=1994}}

== 外部連結 ==
*[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Intersection_form Intersection form] {{Wayback|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Intersection_form |date=20210507041941 }} at the Manifold Atlas
*[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Linking_form Linking form] {{Wayback|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Linking_form |date=20210507011502 }} at the Manifold Atlas
{{DEFAULTSORT:P龐加萊對偶性}}

[[Category:同调论]]
[[Category:流形]]
[[Category:对偶理论]]
[[Category:代数几何定理]]