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在[[數學]]中，一個給定的數n的'''默慈金數'''是「在一個圓上的n個點間，畫出彼此不相交的[[弦 (幾何)|弦]]的全部方法的總數」。默慈金數在幾何、[[组合数学]]和[[数论]]等領域中皆有其用途。它以[[遞歸]]的方法給出的定義如下：
[[File:Motzkin number.png|thumb|Motzkin Number]]
:<math>M_{n+1}=M_n+\sum_{i=0}^{n-1}M_iM_{n-1-i}=\frac{2n+3}{n+3}M_n+\frac{3n}{n+3}M_{n-1}</math>

默慈金數也可以表示为

:<math>M_n=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} C_k.</math>



<math>M_n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{n+2-k}* \binom{n}{k}*\binom{ 2n+2-2k}{ n+1-k}</math>


最初的幾個默慈金數如下{{OEIS|id=A001006}}：

1, [[1]], [[2]], [[4]], [[9]], [[21]], [[51]], [[127]], 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829

下圖顯示了「在一個圓上的4個點間，畫出彼此不相交的[[弦 (幾何)|弦]]的所有9種方法」：

[[Image:MotzkinChords4.svg]]

下圖顯示了「在一個圓上的5個點間，畫出彼此不相交的[[弦 (幾何)|弦]]的所有21種方法」：

[[Image:MotzkinChords5.svg]]

「默慈金質數」是同時為[[質數]]的默慈金數，直至2007年10月止，共有四個已知的「默慈金質數」，它們分別如下{{OEIS|id=A092832}}：

2, 127, 15511, 953467954114363 

默慈金數亦出現在別的地方，像例如在一個「網格」上，若限定「每步只能向右移動一格（可以向右上、右下橫向向右），並禁止移動到y=0以下的地方」，則以這種走法用n步從（0,0）移動至（n,0）的可能形成的路徑的總數為n的默慈金數。

以下為例，下例顯現了從（0,0）至（4,0）照上述的走法中，九種可行的路徑：

[[Image:Motzkin4.svg]]

根據{{harvtxt|Donaghey|Shapiro|1977}}對默慈金數的調查，在數學的各分支中，默慈金數至少有十四個彼此不同的展現存在；{{harvtxt|Guibert|Pergola|Pinzani|2001}}指出[[旗手輪換]]（Vexillary permutation）和默慈金數相關。

==參見==
*[[迪蘭尼數]]（Delannoy number）
*[[那羅延數]]（Narayana number）
*[[施羅德數]]（Schröder number）

==參照==

*{{citation
 | last1 = Donaghey
 | first1 = R.
 | last2 = Shapiro
 | first2 = L. W.
 | title = Motzkin numbers
 | journal = Journal of Combinatorial Theory, Series A
 | volume = 23
 | issue = 3
 | year = 1977
 | pages = 291–301
 | mr = 0505544
 | doi = 10.1016/0097-3165(77)90020-6}}
*{{Citation | last1=Guibert | first1=O. | last2=Pergola | first2=E. | last3=Pinzani | first3=R. | title=Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers | doi=10.1007/PL00001297 | year=2001 | journal=Annals of Combinatorics | issn=0218-0006 | volume=5 | issue=2 | pages=153–174 | mr=1904383}}
*{{citation
 | last = Motzkin
 | first = T. S.
 | title = Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products
 | journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]
 | volume = 54
 | year = 1948
 | pages = 352–360
 | doi = 10.1090/S0002-9904-1948-09002-4
 | issue = 4}}

==外部連結==
*{{MathWorld|title=Motzkin Number|urlname=MotzkinNumber}}

[[Category:整数数列|M]]