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'''黑林格-特普利茨定理'''是[[數學]][[泛函分析]]的定理，以[[德國]][[數學家]][[恩斯特·黑林格]]和[[奧托·特普利茨]]命名。

== 敘述 ==
設<math>\mathcal H</math>為[[希爾伯特空間]]，<math>T : \mathcal H \rightarrow \mathcal H</math>是處處定義的對稱[[線性算子]]，即對任意<math>x,\,y \in \mathcal H</math>都有等式

:<math>\langle Tx,y \rangle = \langle x,Ty \rangle</math>。

那麼，<math>T</math>[[有界算子|有界]]（因此也是[[連續]]）。

=== 證明 ===
從[[閉圖像定理]]可知，只需證明：如果序列<math>(x_n)_{n \in \mathbb N}</math>趨於0，<math>y := \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n</math>，那麼<math>y = 0</math>。因為[[內積]]在<math>\mathcal H</math>上[[連續]]，故得

:<math>\begin{align}\langle y,y\rangle &= \langle \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n,y \rangle \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \langle Tx_n,y \rangle \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \langle x_n,Ty \rangle \\
&= \langle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n,Ty \rangle \\
&= \langle 0,Ty \rangle \\
&= 0\end{align}</math>
所以<math>y = 0</math>。

== 推論 ==
* 任何對稱且在<math>\mathcal H</math>上處處定義的算子是[[自伴算子]]。
* 無界自伴算子最多只能定義在希爾伯特空間的一個[[稠密]]子集上。

== 物理結果 ==
這定理帶出了[[量子力學的數學基礎]]的一些技術難題。[[量子力學]]中的[[可觀察量]]對應到某個希爾伯特空間上的自伴算符，但一些可觀察量（如能量）的算符是無界的。這定理說這些算符不能處處定義，只能定義在稠密子集上。

以[[量子諧振子]]為例。這時希爾伯特空間是<math>L^2(\mathbb R)</math>，即<math>\mathbb R</math>上[[Lp空間|平方可積函數空間]]，能量算符<math>H</math>定義為（設其單位選取使得<math>\hbar=m=\omega=1</math>）
: <math> [Hf](x) = - \frac12 \frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2} f(x) + \frac12 x^2 f(x). </math>

這算符是自伴無界的（其[[特徵值]]為1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整個<math>L^2(\mathbb R)</math>上定義。

== 參考 ==
* Dirk Werner: ''Funktionalanalysis'' (Springer, 5. Auflage 2005)

[[Category:泛函分析|H]]
[[Category:數學定理|H]]