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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Emil Wiechert.jpg|thumb|200px|[[埃米尔·约翰·维舍特|-{zh-hans:埃米尔·维舍特;zh-tw:艾密·維謝}-]]]]
在[[電動力學]]裏，'''黎納-維謝勢'''指的是移動中的[[帶電粒子]]的[[推遲勢]]。從[[馬克士威方程組]]，可以推導出黎納-維謝勢；而從黎納-維謝勢，又可以推導出一個移動中的帶電粒子所生成的含時[[電磁場]]。但是，黎納-維謝勢不能描述微觀系統的[[量子力學|量子行為]]。

{{Link-en|阿弗雷-瑪麗·黎納|Alfred-Marie Liénard}}於1898年，[[埃米尔·约翰·维舍特|-{zh-hans:埃米尔·维舍特;zh-tw:艾密·維謝}-]]於1900年，分別獨立地研究求得黎納-維謝勢的公式<ref>{{Citation|author=Marc Jouguet|title=La vie et l'oeuvre scientifique de Alfred-Marie Liénard|journal=Exposé fait en séance mensuelle de la Société française des Electriciens, le 4 décembre|year=1958|url=http://www.annales.org/archives/x/lienard.html|accessdate=2009-10-17|archive-date=2009-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20090706161826/http://www.annales.org/archives/x/lienard.html|dead-url=no}}</ref><ref>
{{Citation|last=Mulligan|first=Joseph F.|title=Emil Wiechert（1861–1928）: Esteemed seismologist, forgotten physicist|journal=American Journal of Physics|volume =69|issue=3|pages=pp. 277-287 |date=March|year=2001}}</ref>。於1995年，Ribarič和Šušteršič正確計算出移動中的[[偶極子]]和[[四極子]]的推遲勢<ref>{{Citation|last=Ribarič|first=Marijan|last2=Šušteršič|first2=Luka| title =Expansion in terms of time-dependent, moving charges and currents|journal=SIAM Journal on Applied Mathematics |volume=55|issue=3
|pages=pp. 593-624|date=June|year=1995|doi=10.1137/S0036139992241972}}</ref>。

==歷史重要性==
經典電動力學的研究，關鍵地助導[[阿爾伯特·愛因斯坦]]發展出[[相對論]]。愛因斯坦細心地分析黎納-維謝勢和[[電磁波]]傳播，所累積的心得，引領他想出在[[狹義相對論]]裏對於時間和空間的概念。經典電動力學表述是一個重要的發射台，使得物理學家能夠飛航至更複雜的相對論性粒子運動的學術領域。

雖然經典電動力學表述的黎納-維謝勢，可以很準確地描述，獨立移動中的[[帶電粒子]]的物理行為，但是在[[原子]]層次，這表述遭到嚴峻的考驗，無法給出正確地答案。為此緣故，物理學家感到異常困惑，因而引發了[[量子力學]]的創立。

對於粒子發射[[電磁輻射]]的能力，量子力學又添加了許多新限制。經典電動力學表述，表達於黎納-維謝勢的方程式，明顯地違背了實驗觀測到的現象。例如，經典電動力學表述所預測的，環繞著原子不停運動的[[電子]]，由於連續不斷地呈加速度狀態，應該會不停地發射電磁輻射；但是，實際實驗觀測到的現象是，穩定的原子不會發射任何電磁輻射。經過研究論證，物理學家發現，電磁輻射的發射完全源自於電子軌域的[[離散量|離散]][[能級]]的[[躍遷]]（參閱[[波耳原子]]）。在二十世紀後期，經過多年的改進與突破，[[量子電動力學]]成功地解釋了帶電粒子的放射行為。

==物理理論==
[[File:RetardedPotentialOfMovingParticle.jpg|thumb|200px|帶電粒子的移動軌道。]]
假設，從源頭位置<math>\mathbf{r}'\,\!</math>往檢驗位置<math>\mathbf{r}\,\!</math>發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間<math>t\,\!</math>抵達觀測者的檢驗位置<math>\mathbf{r}\,\!</math>，則這束電磁波發射的時間是推遲時間<math>t_r\,\!</math>。由於[[電磁波]]傳播於[[真空]]的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間<math>t\,\!</math>，會不同於這電磁波發射的推遲時間<math>t_r\,\!</math>。[[推遲時間]]  <math>t_r\,\!</math>定義為檢驗時間<math>t\,\!</math>減去[[電磁波]]傳播的時間：
:<math>t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}\,\!</math>；

其中，<math>c\,\!</math>是[[光速]]。

推遲時間的概念意味著電磁波的傳播不是瞬時的。電磁波從發射位置傳播到終點位置，需要一段傳播期間，稱為'''時間延遲'''。與日常生活的速度來比，電磁波傳播的速度相當快。因此，對於小尺寸系統，這時間延遲，通常很難察覺。例如，從開啟電燈泡到這電燈泡的光波抵達到觀測者的雙眼，所經過的時間延遲，只有幾兆分之一秒。但是，對於大尺寸系統，像太陽照射陽光到地球，時間延遲大約為8分鐘，可以經過實驗偵測察覺。

===表達方程式===
假設，一個移動中的帶電粒子，所帶電荷為<math>q\,\!</math>，隨著時間<math>t\,\!</math>而改變的運動軌道為<math>\mathbf{w}(t)\,\!</math>。設定向量<math>\boldsymbol{\mathfrak{R}}\,\!</math>為從帶電粒子位置<math>\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t)\,\!</math>到檢驗位置<math>\mathbf{r}\,\!</math>的分離向量：
:<math>\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'=\mathbf{r} - \mathbf{w}(t)\,\!</math>。

則黎納-維謝純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!</math>和黎納-維謝向量勢<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!</math>分別以方程式表達為
:<math>\Phi(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!</math>、
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) =\frac{\mathbf{v}}{c^2}\Phi(\mathbf{r},\,t)
\,\!</math>；

其中，<math>\epsilon_0\,\!</math>是[[真空電容率]]，<math>\mathbf{v}\,\!</math>是帶電粒子的移動速度，<math>\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{w}}{dt}\,\!</math>。

雖然黎納-維謝純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!</math>和黎納-維謝向量勢<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!</math>的時間參數是<math>t\,\!</math>，方程式右手邊的幾個變數，帶電粒子位置<math>\mathbf{r}'\,\!</math>和速度<math>\mathbf{v}\,\!</math>都是採推遲時間<math>t_r\,\!</math>時的數值：
:<math>\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!</math>、
:<math>\mathbf{v}=\mathbf{v}(t_r)\,\!</math>。

===推導===
從[[推遲勢]]，可以推導出黎納-維謝勢。[[推遲勢|推遲純量勢]]<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!</math>與[[推遲勢|推遲向量勢]]<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!</math>分別以方程式定義為（參閱[[推遲勢]]）
:<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\  \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!</math>、
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\   \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!</math>；

其中，<math>\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\,\!</math>和<math>\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)\,\!</math>分别是推迟时刻的电荷密度和電流密度，<math>\mathcal{V}'\,\!</math>是積分的體空間，<math>d^3\mathbf{r}'\,\!</math>是微小體元素，<math>\mathfrak{R}\,\!</math>向量還是採推遲時間<math> t_r\,\!</math>時的數值。

帶電粒子運動軌道的[[電荷密度]]可以用[[狄拉克δ函數]]表達為
:<math>\rho(\mathbf{r},\,t)=q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!</math>；

其中，<math>\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!</math>是狄拉克δ函數。

代入推遲純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!</math>的方程式，
:<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!</math>。

由於狄拉克δ函數<math>\delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\,\!</math>的積分會從<math>\mathbf{r}'\,\!</math>的可能值中，挑選出當<math>\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!</math>時，所有變數的數值。所以，在積分內的變數，都可以被提出積分，採推遲時間<math>\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!</math>時所計算出的數值。積分內，只剩下狄拉克δ函數等待進一步處理：
:<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\, d^3\mathbf{r}'\,\!</math>。

由於推遲時間<math>t_r\,\!</math>跟三個變數<math>t\,\!</math>、<math>\mathbf{r}\,\!</math>、<math>\mathbf{r}'\,\!</math>有關，這積分比較難計算，需要使用[[換元積分法]]<ref>{{Citation|last=Griffiths|first=David |last2=Heald|first2=Mark|title=Time-Dependent Generalization of the Biot-Savart and Coulomb laws|journal=American Journal of Physics|volume=59|issue =2|pages=pp. 111-117|date=Feb.|year=1991}}</ref>。設定變數<math>\boldsymbol{\eta}=\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r)\,\!</math>。那麼，其[[雅可比行列式]]<math>\mathfrak{J}\,\!</math>為
:<math>\mathfrak{J}=\cfrac{\partial \boldsymbol{\eta}}{\partial \mathbf{r}'}
=\begin{vmatrix}
  \cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial z'} \\
  \cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial z'} \\
  \cfrac{\partial \eta_z}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial z'} \\
\end{vmatrix}\,\!</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

行列式內分量很容易計算，例如：
:<math>\cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=1 - v_x\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!</math>、
:<math>\cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=v_y\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!</math>。

按照上述方法，經過一番計算，可以得到
:<math>\mathfrak{J}=1 - \mathbf{v}\cdot\nabla' t_r= 1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c\,\!</math>。

所以，推遲純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!</math>的方程式變為
:<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\boldsymbol{\eta})\cfrac{\partial \mathbf{r}'}{\partial \boldsymbol{\eta}}\, d^3\boldsymbol{\eta}
=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{\mathfrak{J}}\, d^3\boldsymbol{\eta}
=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c}\, d^3\boldsymbol{\eta}
\,\!</math>。

這樣，可以得到黎納-維謝純量勢：
:<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!</math>。

類似地，也可以推導出黎納-維謝向量勢。

===相對論性導引===
从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的[[洛仑兹变换]]也可以推导出黎納-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作<math>S^{\prime}</math>。在<math>S^{\prime}</math>系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由[[库仑定律]]给出，矢势为零。<ref name="俞允强">{{cite book|title=《电动力学简明教程》|author=俞允强|page=p298|year=1999|publisher=北京大学出版社}}</ref><ref name="Thide2011">{{cite book|author=Bo Thide|title=Electromagnetic Field Theory|url=http://www.physics.irfu.se/CED/Book/|date=2011-03-17|publisher=Dover Publications, Incorporated|isbn=978-0-486-47773-2|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160610160635/http://www.physics.irfu.se/CED/Book/|archivedate=2016-06-10|access-date=2016-06-26}}</ref>{{rp|165ff}}
:<math>\phi'=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'}</math>、
:<math>A'=0</math>。

标势和矢势从<math>S^{\prime}</math>系到<math>S</math>系的变换满足洛仑兹变换：
:<math>\phi=\gamma (\phi'- c\beta A')</math>、
:<math>A=\gamma (-A'+\beta\phi' /c)</math>；

其中，<math>\gamma</math>是[[洛仑兹因子]]，<math>\boldsymbol{\beta}=\mathbf{v}/c</math>。

代入后可以得到：
:<math>\phi =\frac{\gamma q}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'}</math>、
:<math>\boldsymbol{A}=\frac{\gamma q \boldsymbol{\beta}}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'c}</math>。

<math>\mathfrak{R}'</math>和<math>\mathfrak{R}</math>的变换关系也由洛仑兹变换给出：
:<math>\mathfrak{R}'=c\Delta t'=c\gamma(\Delta t - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\mathfrak{R}}/c)=\gamma(\mathfrak{R} - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\mathfrak{R}})</math>
将<math>\mathfrak{R}'</math>的表达式代入即得到黎納-维谢势。

===物理意義===
對於固定不動的帶電粒子，電勢的方程式為
:<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q}{\mathfrak{R}}\,\!</math>。

這是黎納-維謝純量勢乘以'''雅可比行列式因子'''<math>\mathfrak{J}\,\!</math>。追根究柢，原因是移動中的帶電粒子，雖然理論上是點粒子，但是由於它是在移動中，在積分裏所佔有的體積顯得比較大，所帶的電荷因此比較多，所以產生的電勢不同。这也可以看作是一种[[多普勒效应]]。<ref name="俞允强"/>

===移動中的帶電粒子的電磁場===
從黎納-維謝勢，可以計算電場<math>\mathbf{E}\,\!</math>和磁場<math>\mathbf{B}\,\!</math>：
:<math>\mathbf{E} = - \nabla \Phi -  \dfrac {\partial \mathbf{A}} { \partial t } \,\!</math>、
:<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\,\!</math>。

求得的電場<math>\mathbf{E}\,\!</math>和磁場<math>\mathbf{B}\,\!</math>分別為<ref name="Griffiths1998">{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 435-440 |isbn=0-13-805326-X}}</ref> 	 

:<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)= \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \cfrac{\mathfrak{R}}{(\boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{u})^3}
[(c^2 - v^2)\mathbf{u}+\boldsymbol{\mathfrak{R}}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a})]\,\!</math>、
:<math>\mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\times\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)\,\!</math> ;

其中，向量<math>\mathbf{u}\,\!</math>設定為<math>c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}} - \mathbf{v}\,\!</math>，帶電粒子的[[加速度]]是<math>\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\,\!</math>。

檢查電場<math>\mathbf{E}\,\!</math>的方程式，右邊第一項稱為'''廣義庫侖場'''，又稱為'''速度場'''，因為這項目與加速度無關。當<math>v\ll c\,\!</math>，粒子速度超小於光速時，<math>\mathbf{u}\to c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\,\!</math>，這項目會趨向[[庫侖定律|庫侖方程式]]：
:<math>\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\,\!</math>。

右邊第二項稱為'''輻射場'''，又稱為'''加速度場'''，因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述[[電磁輻射]]的生成程序。

==參閱==
*[[電磁波方程式]]
*[[非齊次的電磁波方程|非齊次的電磁波方程式]]
*[[傑斐緬柯方程式]]
*[[拉莫方程式]]
*[[阿布拉罕-勞侖茲力]]
*[[電磁場的數學表述]]

==參考文獻==
<references />

{{电磁学}}
[[Category:電磁學|L]]
[[Category:電動力學|L]]
[[Category:時間|L]]