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{{微积分学}}
在<!--[[数学]]的-->[[实分析]]中，由[[黎曼]]创立的'''黎曼积分'''（{{lang-en|Riemann integral}}）首次对[[函数]]在给定[[区间]]上的[[积分]]给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]和[[勒貝格積分|勒贝格积分]]得到修补。

== 概念 ==

[[File:Integral as region under curve.svg|thumb|right|作为[[曲线]]与[[坐标轴]]所夹[[面积]]的黎曼积分]]

讓函數 <math>f</math> 為定義在區間 <math>[a,b]</math> 的非負函數，我们想要計算 <math>f(x)</math>所代表的[[曲线]]与 <math>x</math>[[坐标轴]]跟兩條垂直線 <math>x=a </math> 跟  <math>x=b</math> 所夹图形的[[面积]]（既右圖區域 <math>S</math> 的面積），可將區域 <math>S</math> 的面積以下面符號表示：

:<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx. </math>

黎曼積分的基本概念就是對 ''x''-軸的分割越來越細，則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形 <math>S</math> 的面積（參考右方第二張圖）。同时請注意，如函數為負函數， <math>f:[a,b]\mapsto \R_{< 0}</math>，则其面积亦為负值。

[[File:Riemann.gif|thumb|right|分割越來越「細」的黎曼和。右上角的数字表示所有矩形面积（既黎曼和）。这黎曼和數列會趋于此函数的積分。]]

== 定义 ==

=== 区间的分割 ===
一个[[闭区间]]<math>[a,b]</math>的一个'''分割'''{{math|P}}是指在此区间中取一个有限的点列<math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math>。(由a至b內的所有x)


每个闭区间<math>[x_i, x_{i+1}]</math>叫做一个'''子区间'''。定义<math>\lambda </math>为这些子区间长度的最大值：<math>\lambda = \max (x_{i+1}-x_i)</math>，其中<math>0 \le i \le n - 1 </math>。

再定义'''取样分割'''。一个[[闭区间]]<math>[a,b]</math>的一个取样分割是指在进行分割<math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math>后，于每一个子区间中<math>[x_i, x_{i+1}]</math>取出一点<math>x_i \le t_i \le x_{i+1}</math>。<math>\lambda </math>的定义同上。

'''精细化分割'''：设<math>x_0,\ldots,x_n</math>以及<math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math>构成了[[闭区间]]<math>[a,b]</math>的一个取样分割，<math>y_0,\ldots,y_m</math>和<math>s_0,\ldots,s_{m-1}</math>是另一个分割。如果对于任意<math>0 \le i \le n</math>，都存在<math>r(i)</math>使得<math>x_i = y_{r(i)}</math>，并存在<math>r(i) \le j < r(i+1)</math>使得<math>t_i = s_j</math>，那么就把分割：<math>y_0,\ldots,y_m</math>、<math>s_0,\ldots,s_{m-1}</math>称作分割<math>x_0,\ldots,x_n</math>、<math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math>的一个'''精细化分割'''。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个[[偏序关系]]，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

=== 黎曼和 ===

对一个在闭区间<math>[a,b]</math>有定义的实值函数<math>f</math>，<math>f</math>关于取样分割<math>x_0,\ldots,x_n</math>、<math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math>的'''黎曼和'''（'''积分和'''）定义为以下和式：

:<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)</math>

和式中的每一项是子区间长度<math>x_{i+1}-x_i</math>与在<math>t_i</math>处的函数值<math>f(t_i)</math>的乘积。直观地说，就是以标记点<math>t_i</math>到X轴的[[距离]]为高，以分割的子区间为长的[[矩形]]的面积。

=== 黎曼积分 ===

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效，需要把<math>\lambda </math>趋于0。如此<math>[x_i, x_{i+1}]</math>中的函数值才会与<math>f(t_i)</math>接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

'''严格定义如下'''：<math>S</math>是函数<math>f</math>在闭区间<math>[a,b]</math>上的黎曼积分，当且仅当对于任意的<math>\epsilon > 0</math>，都存在<math>\delta > 0</math>，使得对于任意的取样分割<math>x_0,\ldots,x_n</math>、<math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math>，只要它的子区间长度最大值<math>\lambda \le \delta </math>，就有：

:<math>\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - S \right| < \epsilon.\,</math>

也就是说，对于一个函数<math>f</math>，如果在闭区间<math>[a,b]</math>上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数<math>f</math>的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么<math>f</math>在闭区间<math>[a,b]</math>上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数<math>f</math>为'''黎曼可积'''的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有<math>\lambda \le \delta </math>的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

'''另一个定义''': <math>S</math>是函数<math>f</math>在闭区间<math>[a,b]</math>上的黎曼积分，当且仅当对于任意的<math>\epsilon > 0</math>，都存在一个取样分割<math>x_0,\ldots,x_n</math>、<math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math>，使得对于任何比其“精细”的分割<math>y_0,\ldots,y_m</math> and <math>s_0,\ldots,s_{m-1}</math>，都有：

:<math>\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right| < \epsilon.\,</math>

这两个定义是等价的。如果有一个<math>S</math>满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个<math>S</math>满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值<math>\lambda \le \delta </math>的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于<math>\delta</math>，于是满足 
:<math>\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right| < \epsilon.\,</math>

其次证明满足第二个定义的<math>S</math>也满足第一个定义。首先引进'''[[达布积分]]'''的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见[[达布积分]]。其次我们证明[[达布积分]]的定义满足第一个定义。任选一个分割<math>x_0,\ldots,x_n</math>使得它的'''上达布和'''与'''下达布和'''都与<math>S</math>相差不超过<math>\frac{\epsilon}{2}</math>。令<math>r</math>等于<math>\max_{0 \le i \le n-1} (M_i-m_i)</math>，其中<math>M_i</math>和<math>m_i</math>是<math>f</math>在<math>[x_i,x_{i+1}]</math>上的[[上确界]]和[[下确界]]。再令<math>\delta</math>是<math>\frac{\epsilon}{2rn}</math>和<math>\min_{0 \le i \le n-1} (x_{i+1}-x_i) </math>中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于<math>\delta</math>时，<math>f</math>关于它的黎曼和与'''上达布和'''或'''下达布和'''至多相差<math>\frac{\epsilon}{2}</math>，所以和<math>S</math>至多相差<math>\epsilon</math>。

由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

==黎曼积分的性质==

*线性性：黎曼积分是[[线性变换]]，也就是说，如果<math>f</math>和<math>g</math>在区间<math>[a,b]</math>上黎曼[[可积]]，<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>是常数，则：

:<math> \int_{a}^{b}( \alpha f + \beta g)\,dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\,dx. </math>

由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间<math>[a,b]</math>后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射<math>I: f \longrightarrow \int_{a}^{b} f dx</math>是所有黎曼可积的函数空间上的一个[[线性泛函]]。

*正定性：如果函数<math>f</math>在区间<math>[a,b]</math>上[[几乎处处]]（[[勒贝格测度]]意义上）大于等于0，那么它在<math>[a,b]</math>上的积分也大于等于零。如果<math>f</math>在区间<math>[a,b]</math>上几乎处处大于等于0，并且它在<math>[a,b]</math>上的积分等于0，那么<math>f</math>几乎处处为0。

*可加性：如果函数<math>f</math>在区间<math>[a,c]</math>和<math>[c,b]</math>上都可积，那么<math>f</math>在区间<math>[a,b]</math>上也可积，并且有
:<math> \int_{a}^{b} f dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx </math>
无论''a''、''b''、''c''之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

*<math>[a,b]</math>上的实函数<math>f</math>是黎曼可积的，当且仅当它是[[有界函数|有界]]和[[几乎处处]][[连续函数|连续]]的。

*如果<math>[a,b]</math>上的实函数是黎曼可积的，则它是[[勒贝格积分|勒贝格可积]]的。

*如果<math>{f_n}</math>是<math>[a,b]</math>上的一个[[一致收敛]]序列，其极限为<math>f</math>，那么：

:<math> \int_{a}^{b} f\, dx = \int_a^b{\lim_{n \to \infty}{f_n}\, dx} = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n\, dx.</math>

*如果一个实函数在区间<math>[a,b],</math>上是[[单调函数|单调]]的，则它是黎曼可积的。

==黎曼积分的推广==
黎曼积分可推广到值属于<math>n</math>维空间<math>\mathbb{R}^n</math>的函数。积分是线性定义的，即如果<math>\mathbf{f} = (f_1, \dots, f_n)</math>，则<math>\int\mathbf{f} = (\int f_1,\,\dots, \int f_n)</math>。特别地，由于复数是实数[[向量空间]]，故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同[[反常积分]]（improper integral）一样。我们可以令

:<math>\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{x\to\infty}\int_{-x}^x f(t)\,dt.</math>

不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令<math>f(x) = 1</math>若<math>x > 0</math>，<math>f(0)=0</math>，<math>f(x)=-1</math>若<math>x<0</math>。则对所有<math>x</math>

:<math>\int_{-x}^x f(t)\,dt = \int_{-x}^0 f(t)\,dt + \int_0^x f(t)\,dt = -x + x = 0</math>.

但如果我们将<math>f(x)</math>向右平移一个单位得到<math>f(x-1)</math>，则对所有<math>x > 1</math>，我们得到

:<math>\int_{-x}^x f(t-1)\,dt = \int_{-x}^1 f(t-1)\,dt + \int_1^x f(t-1)\,dt = -(x+1) + (x-1) 
= -2</math>.

由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：

:<math>\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(t)\,dt.</math>

此时，如果尝试对上面的<math>f</math>积分，我们得到<math>+\infty</math>，因为我们先使用了极限<math>b\to\infty</math>。如果使用相反的极限顺序，我们得到<math>-\infty</math>。

这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令<math>f_n(x)=1/n</math>在<math>[0,n]</math>上，其它域上等于0。对所有<math>n</math>，<math>\int f_n\,dx = 1</math>。但<math>f_n</math>一致收敛于0，因此<math>\lim f_n</math>的积分是0。因此<math>\int f\,dx \not= \lim\int f_n\,dx</math>。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用[[勒贝格积分]]。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是[[Henstock–Kurzweil积分]]。

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子<math>x_i - x_{i+1}</math>，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分|黎曼-斯蒂尔切斯积分]]所采用的方法。

==相关条目==

*[[不定积分]]
*[[积分]]
*[[勒贝格积分]]
*[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]
*[[數值積分]]
*[[达布积分]]
*[[梯形公式]]<!--Rectangle method=>Riemann sum-->

== 参考文献 ==
* Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. ''Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach'', Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.

[[Category:积分的定义]]
[[Category:伯恩哈德·黎曼]]