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在[[數學]]中，'''黎曼映射定理'''是[[複分析]]最深刻的定理之一，此定理分類了<math>\mathbb{C}</math>的[[單連通]]開子集。

== 定理陳述 ==
設<math>D := \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \}</math>為開圓盤，<math>\Omega \subset \mathbb{C}</math>為[[單連通]]開子集。若<math>\Omega \neq \mathbb{C}</math>，則存在一對一的[[全純函數|全純映射]]<math>f: \Omega \to D</math>，使<math>f^{-1}: D \to \Omega</math>亦全純。換言之，<math>\Omega</math>與<math>D</math> [[双全純同構]]。

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的[[共形映射]]，它保持[[角度]]與[[定向 (數學)|定向]]不變。

== 簡史 ==
[[黎曼]]在他1851年的博士論文中陳述了這個結果，但其證明不完整。[[康斯坦丁·卡拉西奥多里]]在1912年發表了第一個完整證明。

== 注記 ==
* 黎曼映射定理乃是'''存在性定理'''，一般無法具體表示從<math>\Omega</math>至<math>D</math>的全純映射。
* 定理中對<math>\Omega</math>的條件極寬鬆；舉例明之，<math>\Omega</math>的邊界可能是[[碎形]]曲線，但<math>\Omega</math>仍可透過[[共形映射]]映至單位圓盤，這在直觀上是很難想像的。
* 此定理對<math>\pi_1(\Omega,*)=\Z</math>時即告失效：環型區域（形如<math> \{ z \in \mathbb{C} : r < |z| < R \}</math>）之間的共形映射僅有[[反演]]、[[縮放]]與[[旋轉]]。
* 此定理在更高維度即不成立。
* 在[[黎曼曲面]]的框架下，此定理可推廣為[[單值化定理]]：單連通黎曼曲面必同構於<math>\mathbb{C}, D</math>或<math>\mathbb{C}P^1</math>。

== 证明概要 ==
给定<math>U</math>和<math>z_0</math>，我们希望构造一个函数<math>f</math>，它把<math>U</math>映射到单位圆盘，把<math>z_0</math>映射到<math>0</math>。在这个证明概要中，我们假设<math>U</math>是有界的，且其边界是光滑的，就像黎曼所做的那样。记
:<math>f(z)=(z-z_0)\exp(g(z)) \,\!</math>
其中<math>g=u+iv</math>是某个（待确定的）全纯函数，其实数部分为<math>u</math>，虚数部分为<math>v</math>。于是显然''z''<sub>0</sub>是''f''的唯一一个零点。我们要求对于<math>U</math>的边界上的<math>z</math>有<math>|f(z)|=1</math>，因此我们需要在边界上有<math>u(z)=-\log|z-z_0|</math>。由于<math>u</math>是全纯函数的实数部分，我们知道<math>u</math>一定是一个[[调和函数]]，也就是说，它满足[[拉普拉斯方程]]。

于是问题变为：存在某个实值调和函数<math>u</math>，对所有的<math>U</math>都有定义，且具有给定的边界条件吗？[[狄利克雷原理]]提供了肯定的答案。只要确立了''u''的存在，全纯函数<math>g</math>的[[柯西-黎曼方程]]便允许了我们求出<math>v</math>（这个论证依赖于<math>U</math>是单连通的假设）。一旦构造了<math>u</math>和<math>v</math>，我们还需要验证所得到的函数<math>f</math>确实满足所有需要的性质。

== 文獻 ==
* John B. Conway, ''Functions of one complex variable'', Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
* John B. Conway, ''Functions of one complex variable II'', Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
* Reinhold Remmert, ''Classical topics in complex function theory'', Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
* Bernhard Riemann, ''[http://www.emis.de/classics/Riemann/Grund.pdf Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse]{{Wayback|url=http://www.emis.de/classics/Riemann/Grund.pdf |date=20070609104235 }}'', Göttingen, 1851

[[Category:复分析定理]]
[[Category:伯恩哈德·黎曼]]