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[[File:para_riemann.png|thumb|right]]
{{General_geometry}}
[[微分幾何]]中，'''黎曼幾何'''（英語：Riemannian geometry）研究具有[[黎曼度量]]的光滑[[流形]]，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。

19世紀，[[波恩哈德·黎曼]]把這個概念加以推广。<ref>[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/ maths.tcd.ie] {{Wayback|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/ |date=20160318034045 }}<!--Old link: http://www.emis.de/classics/Riemann/Geom.pdf--></ref>

任意平滑流形容許[[黎曼度量]]及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題。它成為[[伪黎曼流形]]複雜結構的入門。其中大部分都是[[廣義相對論]]的四維研究对象。

== 黎曼几何古典理論 ==
[[Image:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|thumb|[[伯恩哈德·黎曼]]]]

=== 一般理論 ===

# '''[[高斯-博内定理]]'''：紧致二維[[黎曼流形]]上[[高斯曲率]]的积分等於<math>2\pi\chi(M)</math>，這裡的<math>\chi(M)</math>記作''M''的[[欧拉示性数]]。
# '''[[纳什嵌入定理]]'''：（两个）被稱為[[黎曼幾何]]的基礎理論。他們表明每個[[黎曼流形]]可以是嵌入[[歐幾里得空間]]'''R'''<sup>''n''</sup>。

=== 理論 ===

所有给出的定理中，都将用空间的局部行为（通常用曲率假设表述）来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。

==== 受限[[截面曲率]] ====

# '''1/4-受限 球定理'''：若''M''是完备''n''-维黎曼流形，其截面曲率严格限制于1和4之间，则''M''同胚于''n''-球。

# '''Cheeger's有限定理'''：给定常数''C''和''D''，只有有限个（微分同胚的流形算作一个）紧''n''-维黎曼流形，其截面曲率<math>|K|\le C</math>并且直径<math>\le D</math>。

# '''[[几乎平坦流形|Gromov的几乎平坦流形]]'''：存在一个<math>\epsilon_n>0</math>使得如果一个''n''-维黎曼流形其度量的截面曲率<math>|K|\le \epsilon_n</math>且直径<math>\le 1</math>，则其有限覆盖微分同胚于一个[[Glossary of Riemannian and metric geometry|零流形]].

==== 正曲率 ====

===== 正[[截面曲率]] =====

# '''[[灵魂定理]]'''：若''M''是一个不紧的完备正曲率''n''-维黎曼流形，则它微分同胚于'''R'''<sup>n</sup>.
# '''Gromov的贝蒂数定理'''：有一个常数''C=C(n)''使得若''M''是一个由正截面曲率的紧连通''n''-维黎曼流形，则它的[[贝蒂数]]之和不超过''C''.

===== 正[[里奇曲率]] =====

# '''[[Myers定理]]'''：若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的[[基本群]]有限。

# '''[[分裂定理]]'''：若一个完备的''n''-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线（在任何区间上的距离都极小的测地线）则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(''n''-1)-维黎曼流形的直积。

# '''[[Bishop-Gromov不等式|Bishop's不等式]]'''：半径为''r''的球在一个有正Ricci曲率的完备''n''-维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。

# '''[[Gromov's紧致性定理]]'''：所有正Ricci曲率且直径不超过''D''的黎曼流形在[[Gromov-Hausdorff度量]]下是[[度量空间|仿紧]]的。

===== [[数量曲率]] =====

# ''n''-维环不存在有正数量曲率的度量。

# 若一个紧''n''-维黎曼流形的单射半径<math>\ge \pi</math>，则数量曲率的平均值不超过''n''（''n''-1）。

==== 負曲率 ====

===== 負[[截面曲率]] =====

# 任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。

# 若''M''是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则[[基本群]]的任何[[可交换]]子群同构于整数群'''Z'''。

# 设V<sup>*</sup>是一<math>\mathbb{R}</math>-rank<math>\geq</math>2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率<math>K\leq 0</math>的紧致<math>C^{\infty}</math>黎曼流形，若<math>vol(V)=vol(V^*)</math>，且<math>\pi_1(V)=\pi_1(V^*)</math>，则<math>V</math>与<math>V^*</math>等距。

===== 負[[里奇曲率]] =====

# 任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的[[等距同胚群]]。
# 任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。

== 參見 ==

* [[度量張量]]
* [[黎曼流形]]
* [[列维-奇维塔联络]]
* [[曲率]]
* [[曲率張量]]
* [[微分幾何主題列表]]
* [[黎曼及度量幾何詞表]]

== 參考文献 ==
{{Reflist}}
* Marcel Berger, ''Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century'', (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. ''(Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)'' 
* Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 ''(Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)'' 
* Peter Peterson, ''Riemannian Geometry'', (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. ''(Provides an introduction, presented at an undergrad level.)''
{{-}}

{{Relativity}}
{{廣義相對論}}
{{Authority control}}
[[Category:黎曼几何| ]]
[[Category:伯恩哈德·黎曼]]