查看“︁麦克斯韦-玻尔兹曼统计”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2021-02-16T02:22:16+00:00}}
{{NoteTA|G1=物理學}}

'''麦克斯韦—玻尔兹曼统计'''是描述独立定域粒子体系分布状况的统计规律。

所谓独立定域粒子体系指的是这样一个体系：粒子间相互没有任何作用，互不影响，并且各个不同的粒子之间都是可以互相区别的，在[[量子力学]]背景下只有定域分布粒子体系中的粒子是可以相互区分的，因此这种体系被称为独立定域粒子体系。而在[[经典力学]]背景下，任何一个粒子的运动都是严格符合力学规律的，有着可确定的运动轨迹可以相互区分，因此所有经典粒子体系都是定域粒子体系，在近独立假设下，都符合麦克斯韦-玻尔兹曼统计。

因而符合麦克斯韦—玻尔兹曼统计分布的粒子，当他们处于某一分布<math>\left\{ N_j \right\}</math>（“某一分布”指这样一种状态：即在能量为<math>\left\{ \epsilon_j \right\}</math>的能级上同时有<math>N_j</math>个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：
::<math> W=N!\prod_{j}\left(\frac{g_j^{N_j}}{N_j!}\right) </math>
::<math> g_j=3;N_j=2;W_j=9 </math>

{|class="wikitable" border=1 align="center" style="margin: 1em auto 1em auto; width:50%;"
|+ '''服从M-B统计的两个粒子在三重简并态下的分布'''
!状态1
!状态2
!状态3
|-
|A ||B || 
|-
|B ||A || 
|-
|  ||B ||A
|-
|  ||A ||B
|-
|B ||  ||A
|-
|A ||  ||B
|-
|AB||  ||
|-
|  ||AB||
|-
|  ||  ||AB
|}


我們想要求出數列 <math>N_i</math> 在什麼條件之下 <math>W</math> 會得到極大值, 但我們要注意的是數列 <math>N_i</math> 必須滿足粒子總數固定且能量固定的條件。利用 <math>W</math> 或 <math>\ln(W)</math> 來求出粒子分配時最概然分佈的條件是等價的，然而基於數學上的理由，我們取後者的極大值會較為方便。由於 <math>N_i</math> 並非完全獨立，因此我們採用[[拉格朗日乘数]]法以求出 <math>\ln(W)</math> 的極值。

令
:<math> f(N_1,N_2,...,N_n)=\ln(W)+\alpha(N-\sum N_i)+\beta(E-\sum N_i \epsilon_i) </math>

利用[[斯特靈公式]]作為階乘的近似 <math> N! \approx N^N e^{-N}</math> ，我們得到：
:<math> \ln (N!) = N \ln N - N \; </math>

代入 <math>\ln(W)</math> ，有
:<math>
\ln W=\ln\left[N!\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{g_i^{N_i}}{N_i!}\right]=\ln N!+\sum\limits_{i=1}^n\left(N_i\ln g_i-N_i\ln N_i + N_i\right)
</math>

最後我們得到
:<math>
f(N_1,N_2,...,N_n)=N\ln(N)-N+\alpha N +\beta E +
\sum\limits_{i=1}^n\left(N_i\ln g_i-N_i\ln N_i + N_i-(\alpha+\beta\epsilon_i) N_i\right)
</math>

根據拉氏乘法原則，我們對 <math>f(N_1,N_2,...,N_n)</math> 的每一項 <math>N_i</math> 做偏微分，並令其等於<big>0</big>。
:<math>
\frac{\partial f}{\partial N_i}=\ln g_i-\ln N_i -(\alpha+\beta\epsilon_i) = 0
</math>

即
:<math>
N_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \epsilon_i}} 
</math>

利用其他熱力學的方法可以證明  β = 1/''kT'' （<math>k</math> 是[[波茲曼常數]]；''T'' 是[[絕對溫標]] ）并且 α = -μ/''kT'' （ μ 是[[化學勢]]）

最後我們得到:
:<math>
N_i = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu)/kT}} 
</math>


由于量子统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使[[费米-狄拉克统计]]和[[玻色-爱因斯坦统计]]退化成为经典的'''麦克斯韦-玻尔兹曼统计'''。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 参见 ==
* [[量子统计]]
* [[盒中氣體]]
* [[理想气体]]
* [[全同粒子]]

{{-}}
{{统计力学}}
{{Statistical mechanics topics}}
{{概率分布类型列表}}

[[Category:粒子统计学|M]]