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'''麦克斯韦模型'''（{{lang-en|'''Maxwell model'''}}）是用于描述材料[[粘弹性]]的一种模型。麦克斯韦由一个纯弹性的[[弹簧]]和一个纯黏性的[[黏壶]]（阻尼器）[[串联]]而成，其中的弹簧符合[[胡克定律]]，用于描述材料的[[弹性]]方面性质；而黏壶符合[[牛顿流体]]特征，代表[[黏性]]方面性质<ref name=roylance_EV>{{cite book|last=Roylance|first=David|title=Engineering Viscoelasticity|year=2001|publisher=Massachusetts Institute of Technology|location=Cambridge, MA 02139|pages=8–11|url=http://web.mit.edu/course/3/3.11/www/modules/visco.pdf|access-date=2018-12-24|archive-date=2018-06-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20180618214307/http://web.mit.edu/course/3/3.11/www/modules/visco.pdf|dead-url=no}}</ref>。1867年，[[詹姆斯·麦克斯韦]]提出了这一模型，符合这一模型的流体也被称为麦克斯韦流体。如果将弹簧和黏壶并联，则被称为{{en-link|开尔文-沃伊特模型|Kelvin–Voigt material}}<ref name=christensen/>。

==定义==
如下图所示，麦克斯韦模型可以被表示为一个纯黏性的黏壶（阻尼器）和一个纯弹性的弹簧串联而成的结构<ref name=christensen>{{cite book|last=Christensen|first=R. M|title=Theory of Viscoelasticity|url=https://archive.org/details/theoryofviscoela0000chri|year=1971|publisher=Academic Press|location=London, W1X6BA|pages=[https://archive.org/details/theoryofviscoela0000chri/page/16 16]–20}}</ref>。按照这一设计，当模型受到轴向应力时，总应力、弹簧上应力和黏壶应力应该相等，而总应变应该等于两者应变之和，即<ref name=roylance_EV />

:<math>\sigma_\mathrm{Total}=\sigma_D = \sigma_S</math>
:<math>\varepsilon_\mathrm{Total}=\varepsilon_D+\varepsilon_S</math>

此处的角标D表示黏壶（dashpot）而s表示弹簧（spring）。若将应变对时间求导，并考虑纯弹性弹簧满足胡克定律，纯黏性黏壶为牛顿流体，就可以得到

:<math>\frac {d\varepsilon_\mathrm{Total}} {dt} = \frac {d\varepsilon_D} {dt} + \frac {d\varepsilon_S} {dt} = \frac {\sigma} {\eta} + \frac {1} {E} \frac {d\sigma} {dt}</math>

其中 ''E''表示[[弹性模量]]而''η''是材料的黏度。
[[Image:Maxwell diagram.svg|right]]

如果用上点表示变化速率，该式也可以写作<ref name=roylance_EV />
:<math>\frac {\dot {\sigma}} {E} + \frac {\sigma} {\eta}= \dot {\varepsilon}</math>

麦克斯韦模型通常用于小应变的情况，如果应变较大，会形成几何上的非线性关系，需要进行扩展。

==应力松弛==
如果在麦克斯韦模型上施加一个突然的应变，并将该应变保持一段时间，测量其应力变化，就会发现应力随时间增长呈现指数型衰减的特征，这被称为[[应力松弛]]。 

The picture shows dependence of dimensionless stress <math>\frac {\sigma(t)} {E\varepsilon_0} </math> 
upon dimensionless time <math>\frac{E}{\eta} t</math>:

如果我们放开该材料，那么到 <math>t_1</math>时刻，其中的弹性部分可以完全回复如初，而黏性部分的应变不能完全恢复，可求得此时的应变为：
:<math>\varepsilon_\mathrm{back} = -\frac {\sigma(t_1)} E = \varepsilon_0 \exp \left(-\frac{E}{\eta} t_1\right). </math>

其中不可恢复的应变为
:<math>\varepsilon_\mathrm{irreversible} =  \varepsilon_0 \left(1- \exp \left(-\frac{E}{\eta} t_1\right)\right). </math>

==参考文献==
<references/>

[[category:材料科学]]
[[category:非牛顿流体]]