查看“︁魏尔施特拉斯函数”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:WeierstrassFunction.svg|300px|thumb|区间 [−2, 2] 上的魏尔施特拉斯函数。这个函数具有[[分形]]特性：某些部分会和整体自相似]]

[[数学]]中，'''魏尔施特拉斯函数'''（{{lang|en|Weierstrass function}}）是一类处处[[连续]]而处处不[[导数|可导]]的实值[[病態 (數學)|病態]][[函数]]<ref>{{cite web|title=Les fonctions continues sans dérivées|url=http://www.brouty.fr/Maths/noderiv.html|author=André Brouty|access-date=2009-11-25|archive-date=2021-05-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20210503060102/http://www.brouty.fr/Maths/noderiv.html|dead-url=no}}</ref>，得名于十九世纪的[[德国]]数学家[[卡尔·魏尔施特拉斯]]<ref>{{cite web | title=Properties of the Weierstrass Function in the Time and Frequency Domains | url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=MImg&_imagekey=B6TJ4-41GX66G-1-1&_cdi=5300&_user=162904&_orig=search&_coverDate=01%2F31%2F1995&_sk=999949998&view=c&wchp=dGLzVlz-zSkzS&md5=c09d288ab16b60559049e816d8723f63&ie=%2Fsdarticle.pdf | author=Denis Nicoletti | access-date=2009-11-25 | archive-date=2017-03-27 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170327153633/http://www.sciencedirect.com/science?_ob=MImg&_imagekey=B6TJ4-41GX66G-1-1&_cdi=5300&_user=162904&_orig=search&_coverDate=01%2F31%2F1995&_sk=999949998&view=c&wchp=dGLzVlz-zSkzS&md5=c09d288ab16b60559049e816d8723f63&ie=%2Fsdarticle.pdf | dead-url=no }}</ref>。 

历史上，魏尔施特拉斯函数是一个著名的数学[[反例]]。此前，对于函数的连续性，数学家的认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总有切線斜率。魏尔施特拉斯函数表明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法<ref>{{cite web| title = Cette plaie lamentable| url = http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/dc/node16.html| publisher = UJF Grenoble, 2007| access-date = 2009-11-25| archive-date = 2019-04-01| archive-url = https://web.archive.org/web/20190401215258/http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/dc/node16.html| dead-url = no}}</ref>。

==构造==
魏尔施特拉斯的原作中给出的构造是：
:<math>f(x)= \sum_{n=0} ^\infty a^n \cos(b^n \pi x)</math>,

其中<math>0<a<1</math>，<math>b</math>为正的奇数，使得：

:<math> ab > 1+\frac{3}{2} \pi.</math>

这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏尔施特拉斯于1872年7月18日在[[普鲁士科学院]]出版的一篇论文中。

证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项<math>a^n \cos(b^n \pi x)</math>的绝对值都小于常数<math>a^n</math>，而正项级数<math> \sum_{n=0} ^\infty a^n</math>是[[收敛]]的。由[[比较审敛法]]可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项<math>a^n \cos(b^n \pi x)</math>都是<math>{\mathbb R}</math>上的连续函数，级数和<math>f(x)</math>也是<math>{\mathbb R}</math>上的连续函数。

下面证明函数处处不可导：对一个给定的点<math>x \in {\mathbb R}</math>，证明的思路是找出趋于<math>x</math>的两组不同的数列<math>(x_n)</math>和<math>(x'_n)</math>，使得

:<math>\lim \inf \frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > \lim \sup \frac{f(x'_n) - f(x)}{x'_n - x}.</math>

这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。

一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可导，所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。根据魏尔施特拉斯在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括[[高斯]]，都曾经假定连续函数不可导的部分是[[有限]]或[[可列集|可数]]的。这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数的图像时，总会画出较为规则的图形，例如满足[[利普希茨条件]]的函数图像。

魏尔施特拉斯函数可以被视为第一个[[分形]]函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔施特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加[[光滑]]，也不存在单调的区间。

==处处不可导函数的稠密性==

分析学的成果表明，魏尔施特拉斯函数并不是连续函数中的少数几个特例之一。尽管它是“病态”函数的一种，但可以证明，这种病态的函数事实上不在“少数”，甚至比那些“规则”的函数“多得多”。
* 在[[拓扑学]]意义上：在从[0,1]区间射到实数上的连续函数空间''C''([0, 1]; '''R''')中，处处不可导的函数的集合是[[稠密集|稠密]]的（关于[[一致收敛|一致范数]]的拓扑）。 
* 在[[测度论]]意义上：在配备了[[维纳空间|经典维纳测度]]''γ''的连续函数空间''C''([0, 1]; '''R''')中，至少有一处可导的函数所构成的集合的[[零测集|测度是0]]，也就是说和处处不可导的函数相比是可以“忽略”的。

== 参考资料 ==
* B.R. Gelbaum、J.M.H. Olmstead,《分析学的反例》（Counterexamples in Analysis）, Holden Day Publisher (June 1964).
* Karl Weierstrass, Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Collected works; English translation: On continuous functions of a real argument that do not have a well-defined differential quotient, in: G.A. Edgar, Classics on Fractals, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, 3-9.
* G.H. Hardy,《魏尔施特拉斯不可导函数》（Weierstrass's nondifferentiable function）, Trans. Amer. Math. Soc., 17(1916), 301-325.
* K. Falconer,《分形的几何》（The Geometry of Fractal Sets）, Oxford (1984).
* {{cite web | author = Johan Thim | url = http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html | title = Continuous Nowhere Differentiable Functions | work = Master Thesis Lulea Univ of Technology 2003 | accessdate = 28 July 2006 | archive-date = 2017-02-22 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170222141554/http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html | dead-url = no }}

== 注释 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* {{en}}[http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html MathWorld上有关外尔斯特拉斯函数的资料] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html |date=20210525223608 }}，介绍了一个与外尔斯特拉斯函数不一样但同样是处处不可导的连续函数。
* {{en}}[http://www.apronus.com/math/nodiffable.htm 处处不可导的连续函数] {{Wayback|url=http://www.apronus.com/math/nodiffable.htm |date=20210226195111 }}
* {{en}}[http://www.apronus.com/math/nomonotonic.htm 处处不单调的连续函数] {{Wayback|url=http://www.apronus.com/math/nomonotonic.htm |date=20210507194725 }}使用[[贝尔纲定理|贝尔范畴定理]]的一个证明。

* [http://jonas.matuzas.googlepages.com/mathematicalbeauties 复平面上的外尔斯特拉斯函数] {{Wayback|url=http://jonas.matuzas.googlepages.com/mathematicalbeauties |date=20090924022258 }}以及分形展示。
{{分形}}

[[Category:连续映射]]
[[Category:测度论]]
[[Category:实分析]]
[[Category:分形曲线]]