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[[数学]]中，'''高阶范畴'''是[[范畴论]]在''高阶''下的情形，一些等式可写成[[态射|箭头]]，以便能明确地研究等式背后的结构。高阶范畴论常应用于[[代数拓扑学]]（特别是[[同伦论]]），用于研究[[拓扑空间]]的代数[[不变量]]，如其[[基本广群|基本]]弱[[准范畴]]。

== 严格高阶范畴 ==
一个平凡[[范畴 (数学)|范畴]]拥有物件与[[态射]]两类组分，在高阶范畴论背景下，这些对象统称为1-态射。[[2-范畴]]在1-态射间加入了2-态射，这样往复下去，直到范畴包含(n-1)-态射与其间的n-态射，便得到了n范畴。

以记为'''Cat'''的范畴为例，其是包含所有小范畴和[[函子]]的范畴，实际上是个以[[自然变换]]为2-态射的2-范畴。同理，包含所有（小）n-范畴的n-'''Cat'''实际上是(n+1)-范畴。

n-范畴的定义通过对n的归纳来实现：
* 0-范畴是[[集合范畴|集合]]，
* (n+1)-范畴是n-'''Cat'''的[[增广范畴|增广]]。

所以，1-范畴只是局部小范畴（locally small category）。

'''Set'''的[[幺半范畴]]结构以[[笛卡儿积]]为张量，以[[单元素集合|单元素]]为单元。事实上任何具有有限[[积 (范畴论)|积]]的范畴都可赋予幺半结构。n-'''Cat'''的递归构造很好用，因为如果一个范畴<math>C</math>具有有限积，则增广<math>C</math>范畴也具有有限积。

虽然这个概念对[[同伦]]论等的某些目的来说过于严格，因为在同伦论中，“弱”结构以更高范畴的形式展现，<ref>{{harvnb|Baez|Dolan|1998|p=6}}</ref>但也出现了严格立方高阶同伦广群，其在[[同调]]和[[同伦]]的边界上为代数拓扑提供了新的基础，参见下面书中提到的[[非阿贝尔代数拓扑]]这篇文章。

== 弱高阶范畴 ==
{{main|弱n-范畴}}
在弱n-范畴中，结合性和同一性的条件不再严格（即不再由等价性得出），而是在下一层的同构之前得到满足。[[拓扑学]]中的一个例子是[[道路 (拓扑学)|道路]]的构成，其中的同一性和结合性只在重[[参数化 (几何)|参数化]]时成立，因此也只在[[同伦]]时成立，这就是这个2-范畴的2-同构。这些n-同构必须在态射集间有很好的表现，弱n-范畴在表达这一点上存在困难。弱2-范畴也称作[[双范畴]]，是第一个有明确定义的。它们的一个特殊性是，只有一个物件的双范畴其实就是[[幺半范畴]]，所以双范畴也可以说是“有许多物件的幺半范畴”。弱3-范畴也称作[[三范畴]]，再往上泛化，定义会越来越难明确。高阶范畴互相等价的条件与意义，已经成为范畴论中新的研究对象。

==准范畴==
{{main|准范畴}}
准范畴是满足弱Kan条件的[[单纯集合]]。André Joyal指出它们是高阶范畴论的良好基础。2009年，该理论得到了[[雅各·卢里]]的进一步系统化，他简单将它们统称为无穷范畴，尽管后者也是对任何k的<math>(\infty,\ k)-</math>范畴的所有模型的一个通用术语。

==简单增广范畴==
{{main|简单增广范畴}}
简单增广范畴，或称简单范畴，是在简单集合上增广得到的范畴。但如果看成是<math>(\infty,\ 1)-</math>范畴，那么许多范畴相关的概念（如[[极限 (范畴论)]]）便与增广范畴的相应概念不一致。对其他增广模型，如拓扑增广范畴来说也是如此。

==拓扑增广范畴==
{{main|拓扑范畴}}
拓扑增广范畴，或称拓扑范畴，是在拓扑空间的一些小范畴上增广来的范畴，如[[紧生成空间|紧生成]][[豪斯多夫空间]]。

==西格尔范畴==
{{main|西格尔范畴}}
这是由Hirschowitz和Simpson在1998年引入的高阶范畴模型，<ref>{{cite arXiv |first1=André |last1=Hirschowitz |first2=Carlos |last2=Simpson |title=Descente pour les n-champs (Descent for n-stacks) |date=2001 |eprint=math/9807049 }}</ref>部分是受Graeme Segal于1974年的结果启发。

==另见==
{{Portal|数学}}
*[[范畴化]] 
*[[高维代数]]
*[[抽象废话]]
*[[范畴化]]

== 注释 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite arXiv|eprint=math/9802029 |title=Categorification |authorlink=John C. Baez |first1=John C. |last1=Baez |first2=James |last2=Dolan|year=1998 }}
* {{cite book |first= Tom |last=Leinster | year = 2004 | title = Higher Operads, Higher Categories | publisher = Cambridge University Press | arxiv = math.CT/0305049 | isbn = 0-521-53215-9}}
* {{cite arXiv |authorlink=Carlos Simpson |first=Carlos |last=Simpson |title=Homotopy theory of higher categories |year=2010 |class=math.CT |eprint=1001.4071}} Draft of a book. [http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/44/98/26/PDF/main.pdf Alternative PDF with hyperlinks] {{Wayback|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/44/98/26/PDF/main.pdf |date=20120307232234 }})

* {{cite book |authorlink=Jacob Lurie |first=Jacob |last=Lurie |title=Higher Topos Theory |url=https://books.google.com/books?id=aSZA6ojL3kwC |date=2009 |publisher=Princeton University Press |arxiv=math.CT/0608040 |isbn=978-0-691-14048-3}} As [http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf PDF] {{Wayback|url=http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf |date=20110609013300 }}.
* [[nLab]], the collective and open wiki notebook project on higher category theory and applications in physics, mathematics and philosophy
* [http://ncatlab.org/joyalscatlab/show/HomePage Joyal's Catlab] {{Wayback|url=http://ncatlab.org/joyalscatlab/show/HomePage |date=20231024083237 }}, a wiki dedicated to polished expositions of categorical and higher categorical mathematics with proofs
*  {{cite book |authorlink=Ronald Brown (mathematician) |first1=Ronald |last1=Brown |first2=Philip J. |last2=Higgins |first3=Rafael |last3=Sivera  |series = Tracts in Mathematics |volume = 15 |title = Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids| publisher = European Mathematical Society| year = 2011 | isbn = 978-3-03719-083-8}}

==外部链接==
{{Commons category}}
*{{cite web |first=John |last=Baez |date=1996-02-24 |title=Week 73: Tale of ''n''-Categories |url=http://math.ucr.edu/home/baez/week73.html |access-date=2023-05-28 |archive-date=2023-06-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230604004803/https://math.ucr.edu/home/baez/week73.html |dead-url=no }}
*[http://golem.ph.utexas.edu/category/ The n-Category Cafe] {{Wayback|url=http://golem.ph.utexas.edu/category/ |date=20150415160755 }} — a group blog devoted to higher category theory.
*{{cite web |url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/a_perspective_on_higher_catego.html |first=Tom |last=Leinster |date=8 March 2010 |title=A Perspective on Higher Category Theory |access-date=2023-05-28 |archive-date=2023-10-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231019202748/https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/a_perspective_on_higher_catego.html |dead-url=no }}

{{范畴论}}

[[Category:高阶范畴论]]