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'''高歐拉商數'''（{{lang|en|'''highly totient number'''}}）''k''是有以下性質，大於1的[[正整數]]：使以下方程式有多個解

:φ(''x'') = ''k''

其中φ是[[歐拉函數]]，而且若''k''用其他較小的整數代入時，解的個數都會比剛剛的個數要少。

例如方程式φ(''x'') = ''k''，在''k''=1,2,3,4,5,6,7,8時，分別有2,3,0,4,0,4,0,5個解，φ(''x'') = 8有5個解，若代入小於8的數值，解都少於5個，因此8是高歐拉商數。

頭幾個高歐拉商數是：

[[1]], [[2]], [[4]], [[8]], [[12]], [[24]], [[48]], [[72]], [[144]], [[240]], 432, 480, 576, [[720]], 1152, 1440 {{OEIS|id=A097942}}.

分別使上述方程有1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54及72個解。若將使φ(''x'') = ''k''分別恰有0個解、1個解、2個解……的最小''k''值組成一個數列，則高歐拉商數會是此數列的一個子集<ref>{{Cite OEIS|1=A097942|2=Highly totient numbers: each number k on this list has more solutions to the equation phi(x) = k than any preceding k (where phi is Euler's totient function, A000010)}}</ref>。例如8為高歐拉商數，φ(''x'') = 8有5個解，表示任何小於8的整數都無法使φ(''x'') = ''k''有5個解，因此8是使φ(''x'') = ''k''有5個解的最小''k''值。

若x的質因數分解為<math>x=\prod_i p_i^{e_i}</math>，其歐拉商數為以下的乘積：
:<math>\phi(x)=\prod_i (p_i-1)p_i^{e_i-1}.</math>

因此，高歐拉商數和較小的整數相比，高歐拉商數可以表示為更多種以上式表示的乘積。

高歐拉商數的概念有點類似[[高合成數]]；1既是高合成數中唯一的奇數，也是高歐拉商數中唯一的奇數（其實1是歐拉函數值域中唯一的奇數）。而且高歐拉商數和高合成數都有無限多個，不過隨著數字的增加，要找到高歐拉商數也就越來困難，因為歐拉商數和[[質因數分解]]有關，數字越大，就越難進行質因數分解。
==舉例==
有五個整數（15, 16, 20, 24和30）的歐拉商數是8。比8小的整數中，沒有哪一個是五個整數的歐拉商數。因此8是高歐拉商數。

==表==
{|class="wikitable"
|''n''
|使<math>\phi(k)=n</math>的''k''值{{OEIS|id=A032447}}
|使<math>\phi(k)=n</math>的''k''的個數{{OEIS|id=A014197}}
|-
|0
|
|0
|-
|'''1'''
|1, 2
|2
|-
|'''2'''
|3, 4, 6
|3
|-
|3
|
|0
|-
|'''4'''
|5, 8, 10, 12
|4
|-
|5
|
|0
|-
|6
|7, 9, 14, 18
|4
|-
|7
|
|0
|-
|'''8'''
|15, 16, 20, 24, 30
|5
|-
|9
|
|0
|-
|10
|11, 22
|2
|-
|11
|
|0
|-
|'''12'''
|13, 21, 26, 28, 36, 42
|6
|-
|13
|
|0
|-
|14
|
|0
|-
|15
|
|0
|-
|16
|17, 32, 34, 40, 48, 60
|6
|-
|17
|
|0
|-
|18
|19, 27, 38, 54
|4
|-
|19
|
|0
|-
|20
|25, 33, 44, 50, 66
|5
|-
|21
|
|0
|-
|22
|23, 46
|2
|-
|23
|
|0
|-
|'''24'''
|35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90
|10
|-
|25
|
|0
|-
|26
|
|0
|-
|27
|
|0
|-
|28
|29, 58
|2
|-
|29
|
|0
|-
|30
|31, 62
|2
|-
|31
|
|0
|-
|32
|51, 64, 68, 80, 96, 102, 120
|7
|-
|33
|
|0
|-
|34
|
|0
|-
|35
|
|0
|-
|36
|37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126
|8
|-
|37
|
|0
|-
|38
|
|0
|-
|39
|
|0
|-
|40
|41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150
|9
|-
|41
|
|0
|-
|42
|43, 49, 86, 98
|4
|-
|43
|
|0
|-
|44
|69, 92, 138
|3
|-
|45
|
|0
|-
|46
|47, 94
|2
|-
|47
|
|0
|-
|'''48'''
|65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210
|11
|-
|49
|
|0
|-
|50
|
|0
|}

==相關條目==
{{reflist}}
* L. Havelock, [https://web.archive.org/web/20080703175341/http://aux.planetmath.org/files/papers/335/C%3ATempObsTotientCototientValence.pdf A Few Observations on Totient and Cototient Valence] from [[PlanetMath]]

==相關條目==
*[[高合成數]]
*[[非歐拉商數]]
*[[高互補歐拉商數]]

== 参考资料 ==
* L. Havelock, [https://web.archive.org/web/20080703175341/http://aux.planetmath.org/files/papers/335/C:TempObsTotientCototientValence.pdf A Few Observations on Totient and Cototient Valence] from PlanetMath

[[Category:整数数列|G]]