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{{Unreferenced|time=2021-12-25T17:45:31+00:00}}
[[數論]]中，模正整數<math>m</math>的<math>n</math>'''次剩餘'''（<math>n</math>為正整數），即某整數<math>X</math>的<math>n</math>次方數<math>X^n</math>除以<math>m</math>的餘數。以下討論<math>m</math>是奇[[質數]]<math>p</math>，且餘數<math>d</math>不為零的情況。

給定<math>d</math>，若對某個<math>X</math>，有<math>X^n \equiv d \pmod{p}</math>成立時，則稱<math>d</math>為'''模<math>p</math>的<math>n</math>次剩餘'''（{{lang-en| ''n''-tic residue mod ''p''}}）。

否則，對任意<math>X</math>，都有<math>X^n \not\equiv d \pmod{p}</math>，此時稱<math>d</math>為'''模<math>p</math>的<math>n</math>次非剩餘'''（{{lang-en| ''n''-tic non-residue mod ''p''}}）。

<math>n</math>次剩餘有類似於二次剩餘歐拉判別法的判別法如下：
若<math>p</math>是奇[[質數]]，<math>p</math>不能整除<math>d</math>，且<math>n|p-1</math>（即<math>n</math>能[[整除]]<math>p-1</math>），則<math>d</math>是模<math>p</math>的<math>n</math>次剩餘的充要條件為：

:<math>d^{\frac{p-1}{n}} \equiv 1 \pmod{p}</math>。

且若上式有解時，解數為<math>n</math>。

若<math>n</math>不能整除<math>p-1</math>，則<math>d</math>是模<math>p</math>的<math>n</math>次剩餘的充要條件為：

:<math>d^{\frac{p-1}{k}} \equiv 1 \pmod{p},</math>
其中<math>k</math>為[[最大公因數]]<math>(n,p-1)</math>。同樣上式有解時解數為<math>k</math>。

兩個<math>n</math>次剩餘相乘仍然是<math>n</math>次剩餘，<math>n</math>次剩餘和<math>n</math>次非剩餘相乘為<math>n</math>次非剩餘，但是與[[二次剩餘]]不同，當兩個<math>n</math>次非剩餘相乘時，並不一定是<math>n</math>次剩餘。

對於'''二次剩餘'''（<math>n = 2</math>）的狀況，可以透過計算[[勒讓德符號]]來確定，但是當[[高斯]]企圖對於任意<math>n \ge 3</math>尋找類似算法時（高斯考慮了<math>n=3</math>和<math>n=4</math>的情況），卻找不到類似的算法，高次剩餘在某些方面的不規則是一個極困難的問題。

== 相關條目 ==
*[[二次剩餘]]
*[[三次互反律]]
*{{le|四次互反律|quartic reciprocity}}

[[Category:同余]]