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'''高斯金字塔'''（英文：Gaussian Pyramid）為在[[圖像處理]]、[[計算機視覺]]、[[信號處理]]上所使用的一項技術。
高斯金字塔本質上為信號的多尺度表示法，亦即將同一信號或圖片多次的進行[[高斯模糊]]，並且向下[[取樣]]，
藉以產生不同尺度下的多組信號或圖片以進行後續的處理，例如在影像辨識上，可以藉由比對不同尺度下的圖片，以防止要尋找的內容可能在圖片上有不同的大小。
高斯金字塔的理論基礎為[[尺度空間]]理論，而後續也衍生出了[[多解析度分析]]。

==尺度空間理論==

高斯金字塔背後的理論基礎為[[尺度空間]]理論。
這個的概念可以用在任意維度的信號中，不過最常用的地方還是在二維的影像信號上，以下將以二維影像信號作為主要討論對象。
給定一張圖片<math>f(x, y)</math>，它的''尺度空間表示方式''<math>L(x, y; t)</math>定義為:影像信號<math>f(x, y)</math>
和[[高斯函數]]<math>g(x, y; t) = \frac {1}{2{\pi} t}e^{-(x^2+y^2)/2t}\, </math>的[[旋積]]。完整的式子為：

:<math>L(x, y ; t)\ = g(x, y ; t) * f(x, y) ,</math>

式中的分號代表旋積的對象為<math>x, y</math>，而分號右邊的<math>t</math>表示定義的尺度大小。
這個定義當<math>t \geq 0</math>時對於所有的<math>t</math>都會成立，不過通常在實作上只會選取特定的<math>t</math>值。
其中<math>t</math>為高斯函數的[[變異數]]。當<math>t</math>趨近於零的時候，<math>g</math>成為一個單位脈衝響應，使得<math>L(x, y ; t)\ = f(x, y)</math>，
這代表當<math>t=0</math>的時候我們可以把這項操作視為圖片<math>f</math>本身。
當<math>t</math>增加時，<math>L</math>代表將影像<math>f</math>通過一個較大的高斯濾波器，從而使得影像的細節被去除更多。

===使用高斯函數的原因===

根據[[尺度空間]]理論，假如限定從較精密的尺度推展到較粗糙的尺度的過程中，不能有新的結構被創造出來，
那麼高斯函數已經被證明出來為一個能夠張成尺度空間的正則（Canonical）函數。
<ref name=koe84/><ref name=lin94/><ref name=flo97/><ref name=lin08/><ref name="Babaud-EtAl" /><ref name="Yuille-Poggio" /><ref name="Lindeberg-1990" /><ref name="Pauwels-EtAl" /><ref name="Lindeberg-1997" /><ref name="Weickert-1999" />

尺度空間的另外一種表現形式是將其視為一個[[擴散方程]]（舉[[熱傳導方程式]]作為例子）：

:<math>\partial_t L = \frac{1}{2} \nabla^2 L,</math>

並且初始條件為<math>L(x, y; 0) = f(x, y)</math>。這個表示方式將圖片上的內容視為溫度的分佈，並且將建立尺度空間表示形式的過程視為熱傳導隨著時間<math>t</math>的擴散過程。
另外，對於這種表現形式的仔細分析也統合了連續和離散尺度空間的理論，並且可以拓展到非線性的尺度空間。因此，我們可以說這種表示形式為尺度空間的基本。
而高斯函數為此擴散方程的[[格林函數]]，也因此，在描述尺度空間表示方式和建立高斯金字塔時，會以高斯函數為主體。

==建立高斯金字塔==

在建立高斯金字塔的時候，我們首先會將影像轉換為尺度空間的表示方式，亦即乘上不同大小的高斯函數，之後再依據取定的尺度向下取樣。
乘上的高斯函數大小和向下取樣的頻率通常會選為2的冪次，也就是說，在每次迭代的過程中，影像都會被乘上一個固定大小的高斯函數，並且被以長寬各0.5的比率被向下取樣。
如果將向下取樣過程的圖片一張一張疊在一起，會呈現一個金字塔的樣子，因此這個過程稱為高斯金字塔。

==應用==

===圖形特徵點檢測===

高斯金字塔的概念可以拿來進行邊緣檢測。[[高斯拉普拉斯算子]]（英文：[[Laplacian of Gaussian]]）為高斯金字塔的一個延伸，它可以作為加強影像邊緣的一個帶通濾波器。
高斯拉普拉斯算子為影像通過高斯濾波器之後再通過[[拉普拉斯算子]]的結果：

:<math>\nabla^2 L =L_{xx} + L_{yy}</math>

然而，高斯拉普拉斯的結果會受到高斯函數的大小影響，為了去除這個影響，可以導入'''尺度歸一化高斯拉普拉斯運算子'''

:<math>\nabla^2_{norm} L(x, y; t) = t(L_{xx} + L_{yy})</math>

接著可以藉由尋找<math>\nabla^2 L</math>同時符合幾何空間中和尺度空間中的局部極大值點，來尋找影像中的特徵點。
<ref name="Lindeberg-1998" />
換句話說，對於輸入影像<math>f(x,y)</math>，我們可以藉由建立起高斯金字塔，建出它在二維幾何平面加上一維尺度空間共三維的空間，
並且找出其亮度大於鄰近26點的點作為特徵點。

為了簡化計算，我們可以將上述的熱擴散函數帶入高斯拉普拉斯算子，並進行近似以得到[[高斯差]]算子：

:<math>\nabla^2_{norm} L(x, y; t) \approx \frac{t}{\Delta t} \left( L(x, y; t+\Delta t) - L(x, y; t-\Delta t) \right) </math>.

高斯差可以簡單的透過將在尺度空間相鄰的圖片進行相減得到。這個方法被用在著名的[[尺度不變特徵轉換]]中<ref name="Lowe-2004" />：
尺度不變特徵轉換藉由尋找並描述不同尺度下的影像特徵點，以進行不同影像之間的特徵點比對。

==參考資料==

{{reflist|
refs=
<ref name=koe84>
Koenderink, Jan "The structure of images", Biological Cybernetics, 50:363–370, 1984 </ref>
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<ref name=flo97>
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<ref name=lin08 >{{Cite journal
| author=Lindeberg, Tony
| title=Scale-space
| journal=Encyclopedia of Computer Science and Engineering ([[Benjamin Wah]], ed), John Wiley and Sons
| volume=IV
| pages=2495–2504
| year=2008
| doi=10.1002/9780470050118.ecse609
| url=http://www.csc.kth.se/~tony/abstracts/Lin08-EncCompSci.html
| access-date=2013-06-27
| archive-date=2019-02-13
| archive-url=https://web.archive.org/web/20190213131432/http://www.csc.kth.se/~tony/abstracts/Lin08-EncCompSci.html
| dead-url=no
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[http://portal.acm.org/citation.cfm?coll=GUIDE&dl=GUIDE&id=628701 Pauwels, E., van Gool, L., Fiddelaers, P. and Moons, T.: An extended class of scale-invariant and recursive scale space filters, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 17, No. 7,  pp. 691–701, 1995.]</ref>
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}}

[[Category:图像处理]]