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{{Distinguish|高斯求積}}
[[Image:E^(-x^2).svg|thumb|right|''f''(''x'') =&nbsp;''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> 的图像，这个函数与 ''x'' 轴之间的面积等于 <math> \scriptstyle\sqrt{\pi} </math>。]]

'''高斯积分'''（{{lang-en|Gaussian integral}}），有时也被称为'''概率积分'''，是[[高斯函数]]（''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup>）在整个[[實數線]]上的[[积分]]。它得名于[[德国]][[数学家]]兼[[物理学家]][[卡爾·弗里德里希·高斯]]之姓氏。

:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}</math>

高斯积分用处很广。例如，利用换元积分法，它可以用来计算[[正态分布]]的[[归一化常数]]。在极限为有限值的时候，高斯积分与[[正态分布]]的[[误差函数]]和[[累积分布函数]]密切相关。在物理学中，这种积分也经常出现：例如在[[量子力学]]中，谐振子基态的概率密度；在路径积分公式中，谐振子的传播子；以及[[统计力学]]中的配分函数，以上的计算都要用到这个积分。

我们可以通过[[Risch算法]]证明误差函数不具有[[初等函数]]形式；尽管如此，高斯积分可以通过[[多元微积分]]方法分析求解。虽然[[不定积分]]<math>\int e^{-x^2}\,dx</math>
无法用初等函数表示，但[[定积分]]<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx</math>是可以计算的。

任意[[高斯函数]]的定积分为

:<math>\int_{-\infty}^{\infty}  e^{-a(x+b)^2}\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}.</math>

== 计算方式 ==
=== 通过极限计算 ===
要想找到高斯积分的闭合形式，首先定义一个近似函数：

:<math>I(a)=\int_{-a}^a e^{-x^2}dx</math>，

高斯积分可以通过它的极限来运算：

:<math>\lim_{a\to\infty} I(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\, dx.</math>

对<math>I</math>取平方获得

:<math>I^2(a)=  \left ( \int_{-a}^a e^{-x^2}\, dx \right )\cdot \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right )= \int_{-a}^a \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right )\,e^{-x^2}\, dx = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.</math>

根据[[富比尼定理]]，以上的双重积分可以被看作是[[直角坐标系]]上一个正方形的面积积分<math>\int e^{-(x^2+y^2)}\,d(x,y)</math>，其[[頂點 (幾何)|顶点]]为<math>\{(-a, a), (a, a), (a, -a), (-a, -a)\}</math>。

不论<math>x</math>为任何实数，指数函数<math>e^x</math>均大于0，所以这个正方形的[[内切圆]]的积分必须小于<math>I(a)^2</math>。同理，正方形的[[外接圆]]积分必须大于<math>I(a)^2</math>。通过从直角坐标系转化到[[极坐标系]]<math>x=r\,\cos \theta</math>, <math>y= r\,\sin\theta</math>, <math>d(x,y) = r\, d(r,\theta)</math>，可以计算出这两个圆面的积分：

:<math>\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta < I^2(a) < \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta</math>，

得到

:<math> \pi (1-e^{-a^2}) < I^2(a) < \pi (1 - e^{-2a^2}). </math>


使用[[夹擠定理]]获得高斯积分

:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}.</math>

=== 利用沃利斯积分计算 ===
在这里，对于''n''为自然数时，[[沃利斯公式|沃利斯积分]]定义为：

:<math>I_n=\int_0^\frac\pi2 \sin^n x \mathrm dx=\begin{cases}\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}&2|n\\\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot1&2\nmid n\end{cases}</math>

因此有<math>\frac{n+1}{n+2}=\frac{I_{n+2}}{I_n}</math>的关系，并且根据<math>I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n</math>以及[[夹挤定理]]得到<math>\lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}=1</math>，另外也可以得到<math>\frac{(n+2)I_{n+1}I_{n+2}}{(n+1)I_nI_{n+1}}=1</math>，因此总有<math>(n+1)I_nI_{n+1}=I_0I_1=\frac\pi2</math>，于是可以得到：

:<math>
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)I_{n+1}}{nI_n} &= \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)I_nI_{n+1}}{nI_n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{2nI_n^2} = 1\\
\lim_{n\to\infty}\sqrt n I_n &= \sqrt{\frac\pi2}
\end{align}
</math>

考虑到<math>\mathrm e^t=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^k}{k!}</math>以及<math>\frac1{1-t}=\sum_{k=0}^\infty t^k</math>，因此当<math>t\geqslant0</math>时该不等式成立：

:<math>\frac1{1-t} \geqslant \mathrm e^t \geqslant 1+t</math>

当<math>t=x^2</math>并且不等式各边取倒数之后，变成：

:<math>1-x^2 \leqslant \mathrm e^{-x^2} \leqslant \frac1{1+x^2}</math>

各边同时乘方运算与积分，并且最右边的部分积分区间大于左边与中间部分，变成：

:<math>\int_0^1(1-x^2)^n\mathrm dx \leqslant \int_0^1\mathrm e^{-nx^2}\mathrm dx \leqslant \int_0^\infty\frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^n}</math>

最左边变量代换为<math>x=\sin\theta</math>得<math>\mathrm dx=\cos\theta\mathrm d\theta</math>；当中变量代换为<math>x=\frac y{\sqrt n}</math>；最右边变量代换为<math>x=\tan\theta</math>得<math>\mathrm dx=\sec^2\theta\mathrm d\theta=\frac{\mathrm d\theta}{\cos^2\theta}</math>，变成：

:<math>\int_0^\frac\pi2\cos^{2n+1}\theta\mathrm d\theta \leqslant \frac1{\sqrt n}\int_0^{\sqrt n}\mathrm e^{-y^2}\mathrm dy \leqslant \int_0^\frac\pi2\cos^{2n-2}\theta\mathrm d\theta</math>

利用[[诱导公式]]<math>\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)=\sin\theta</math>，并且同时乘系数<math>\sqrt n</math>，变成：

:<math>\sqrt n\int_0^\frac\pi2\sin^{2n+1}\theta\mathrm d\theta \leqslant \int_0^{\sqrt n}\mathrm e^{-y^2}\mathrm dy \leqslant \sqrt n\int_0^\frac\pi2\sin^{2n-2}\theta\mathrm d\theta</math>

此时即为<math>\sqrt nI_{2n+1}\leqslant\int_0^{\sqrt n}\mathrm e^{-y^2}\mathrm dy\leqslant\sqrt nI_{2n-2}</math>，当<math>n\to\infty</math>时通过[[夹挤定理]]可以得到共同极限为<math>\frac{\sqrt\pi}2</math>，最终有<math>\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2}\mathrm dx=2\int_0^\infty\mathrm e^{-x^2}\mathrm dx=\sqrt\pi</math>。

==与Γ函数的关系==
由于被积分的函数是一个[[奇函數與偶函數|偶函数]]，

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx</math>

通过替代变量它可以变成一个[[欧拉积分]]

:<math>\int_0^\infty e^{-t} \ t^{-\frac{1}{2}} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)</math>

这里<math>~\Gamma</math>是[[Γ函数]]。这说明了为什么一个半整数的[[階乘]]是<math>\sqrt \pi</math>的倍数。更广义地，

:<math>b\int_0^\infty e^{-ax^b} dx = a^{-\frac{1}{b}} \, \Gamma\left(\frac{1}{b}\right).</math>

== 推广 ==
=== 高斯函数的积分 ===
任一[[高斯函数]]的积分都可以用以下的公式计算：

:<math>\int_{-\infty}^{\infty}  e^{-a(x+b)^2}\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math>

更为广泛的形式为：

{{Equation box 1 |indent =:|cellpadding = 0 |border = 1 |border colour = black |background colour = transparent
|equation = <math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}+c}</math>}}

这一公式在计算有关[[正态分布]]的一些连续[[概率分布]]的数学期望值的时候特别有用，例如[[对数正态分布]]。

=== n维和泛函推广 ===
{{main|多元正态分布}}
令<math>A</math>为一个对称的、[[正定矩阵|正定]]的（因而[[可逆矩阵|可逆]]）<math>n \times n</math> {{le|精密矩阵|precision matrix}}（即[[协方差矩阵]]的逆矩阵），则

:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{\left(-\frac 1 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^nx =\int_{-\infty}^\infty e^{\left(-\frac 1 2 x^{T} A x \right)} \, d^nx=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} =\sqrt{\frac{1}{\det (A / 2\pi)}} =\sqrt{\det (2 \pi A^{-1})}</math>

这里的积分是对'''R'''<sup>''n''</sup>的。上式被用于研究[[多元正态分布]]。

同样，

:<math>\int x^{k_1}\cdots x^{k_{2N}} \, e^{\left( -\frac{1}{2} \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^nx =\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} \, \frac{1}{2^N N!} \, \sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})_{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}</math>

这里的 &sigma; 表示的是有序集 {1, ..., 2''N''} 的不同[[排列]]。等式右边的系数是对 <math>N</math> 个重复的 A<sup>-1</sup> 的 {1, ..., 2''N''} 中所有的组合的求和（the sum over all combinatorial pairings of {1, ..., 2''N''} of ''N'' copies of ''A''<sup>−1</sup>）。{{Citation needed|date=2018-01}}

或者，

:<math>\int f(\vec x) e^{\left( - \frac 1 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. e^{\left({1\over 2}\sum\limits_{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)}f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0}</math>

以上积分中的 <math>f</math> 是[[解析函数]]，且函数值的增长必须满足某些边界条件以及另一些特定要求。微分算子的幂可以理解为[[幂级数]]。

虽然{{le|泛函积分|Functional integration}}没有严格的定义，但是我们仍然可以依照有限维的情况“定义”高斯泛函积分。{{Citation needed|date=2018-01}} 然而，<math>(2\pi)^\infty</math> 无穷大的问题依然存在，且大部分的{{le|泛函行列式|Functional determinant}}也是无穷大的。如果只考虑比例：

:<math>\frac{\int f(x_1)\cdots f(x_{2N}) e^{-\iint \frac{1}{2}A(x_{2N+1},x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2}) d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}} \mathcal{D}f}{\int e^{-\iint \frac{1}{2} A(x_{2N+1}, x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2}) d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}} \mathcal{D}f} =\frac{1}{2^N N!}\sum_{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma(2N-1)},x_{\sigma(2N)}).</math>

则可以解决这个问题。在{{le|德维特标记法|DeWitt notation}}下，此公式与有限维的情况一致。

=== 带线性项的n维 ===
如果A是一个对称的正定矩阵，则有（假设均为列向量）
:<math>\int e^{-\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum\limits_{i=1}^{n}B_i x_i} d^nx=\int e^{-\frac{1}{2}\vec{x}^T \mathbf{A} \vec{x}+\vec{B}^T \vec{x}} d^nx= \sqrt{ \frac{(2\pi)^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{2}\vec{B}^{T}\mathbf{A}^{-1}\vec{B}}.</math>

=== 形式相似的积分 ===
:<math>\int_0^\infty x^{2n}  e^{-\frac{x^2}{a^2}}\,dx = \sqrt{\pi}\frac{a^{2n+1} (2n-1)!!}{2^{n+1}}</math>
:<math>\int_0^\infty x^{2n+1} e^{-\frac{x^2}{a^2}}\,dx = \frac{n!}{2} a^{2n+2}</math>
:<math>\int_0^\infty x^{2n}e^{-ax^2}\,dx = \frac{(2n-1)!!}{a^n 2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math>
:<math>\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-ax^2}\,dx = \frac{n!}{2a^{n+1}}</math>
:<math>\int_0^\infty x^{n}e^{-ax^2}\,dx = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2a^{\frac{n+1}{2}}}</math>
其中，n 为正整数，“!!”表示{{le|双阶乘|double factorial}}。
这类积分的一种简单的计算方式是应用{{le|莱布尼兹积分规则|Leibniz integral rule}}对参数进行微分：

:<math>\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty x^{2n} e^{-\alpha x^2}\,dx &= \left(-1\right)^n\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} e^{-\alpha x^2}\,dx ~= \left(-1\right)^n\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx\\
&= \sqrt{\pi} \left(-1\right)^n\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n}\alpha^{-\frac{1}{2}} ~= \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\frac{(2n-1)!!}{\left(2\alpha\right)^n}
\end{align}</math>

也可以先[[分部积分]]，然后找出[[递推关系]]之后求解。

== 另见 ==
* [[高斯函数积分表]]
* {{le|量子场论中常见的积分|Common integrals in quantum field theory}}
* [[正态分布]]
* [[指数函数积分表]]
* [[误差函数]]
* {{le|格拉斯曼积分|Grassmann integral}}

==参考资料==
{{reflist}}
*{{MathWorld|title=Gaussian Integral|urlname=GaussianIntegral}}
* {{cite book |first=David |last=Griffiths |title=Introduction to Quantum Mechanics |edition=2nd }}
* {{cite book |last=Abramowitz |first=M. |last2=Stegun |first2=I. A. |title=Handbook of Mathematical Functions |publisher=Dover Publications |location=New York }}

[[Category:積分]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:高斯函數]]
[[Category:分析定理]]