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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{向量字體常規}}
[[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|200px|right|thumb|卡爾·高斯]]
在[[電磁學]]裏，'''高斯磁定律'''闡明，[[磁場#B場與H場|磁場]]（B場）的[[散度]]等於零。因此，磁場是一個[[螺線向量場]]。從這事實，可以推斷[[磁單極子]]不存在。磁的基本實體是[[磁偶極子]]，而不是[[磁荷]]。當然，假若將來科學家發現有磁單極子存在，那麼，這定律就必須做適當的修改，如稍後論述。高斯磁定律是因德國物理學者[[卡爾·高斯]]而命名。

在物理學界，很多學者使用「高斯磁定律」來指稱這定律，但並不是每一位學者都採用這名字。有些作者稱它為「自由磁單極子缺失」<ref name=Jackson1999>{{cite book|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|pages=pp. 237, 273|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>，或明確地表示這定律沒有取名字<ref name="Griffiths1998">{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 321 |isbn=0-13-805326-X}}</ref>。還有些作者稱此定律為「橫向性要求」<ref name=Joannopoulos>{{cite book|author=Joannopoulos John D.; Johnson, Steve G.;Winn, Joshua N. and Meade, Robert D.|title=Photonic Crystals: Molding the Flow of Light|edition=2nd|year=2008|page=pp. 9|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ USA|isbn=978-0-691-12456-8|url=http://ab-initio.mit.edu/book/|access-date=2009-10-01|archive-date=2011-07-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20110722182227/http://ab-initio.mit.edu/book/|dead-url=no}}</ref>，因為在[[真空]]中或[[介質|線性介質]]中傳播的[[電磁波]]必須是[[橫波]]。

==理論方程式形式==
[[File:SurfacesWithAndWithoutBoundary.svg|right|thumb|250px|閉曲面與開放曲面示意圖。左邊是閉曲面例子，包括[[球面]]、[[環面]]和[[立方體|立方體面]]；穿過這些曲面的[[磁通量]]等於零。右邊是開放曲面，包括[[圓盤|圓盤面]]、[[正方形|正方形面]]和[[球面|半球面]]；都具有邊界（以紅色顯示），不完全圍入三維體積。穿過這些曲面的[[磁通量]]不一定等於零。]]
高斯磁定律的方程式可以寫為兩種形式：微分形式和積分形式。根據[[散度定理]]，這兩種形式為等價的。

高斯磁定律的微分形式為
:<math>\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\,\!</math> ；

其中，<math>\mathbf{B}\,\!</math> 是[[磁感應強度]]。

這是[[馬克士威方程組]]中的一個方程式。

高斯磁定律的積分形式為
:
{{oiint
| intsubscpt = <math>{\mathbb S}</math>
| integrand = <math>\mathbf{B} \cdot {\rm d}\mathbf{s}=0 </math>
}}

其中，<math>\mathbb{S}\,\!</math> 是一個閉曲面，<math>\mathrm{d}\mathbf{s}\,\!</math> 是微小面積分（請參閱[[曲面積分]]）。

這方程式的左手邊項目，稱為通過閉曲面的淨[[磁通量]]。高斯磁定律闡明這淨磁通量永遠等於零。

==磁向量勢==
{{main|磁向量勢}}
根據[[亥姆霍兹分解]]（{{lang|en|Helmholtz decomposition}}），因為磁場的散度等於零，必定存在有[[向量場]] <math>\mathbf{A}\,\!</math> 滿足條件
:<math>\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\,\!</math> 。

這向量場 <math>\mathbf{A}\,\!</math> 稱為'''磁向量勢'''。

請注意並不是只有一個[[向量場]] <math>\mathbf{A}\,\!</math> 滿足這條件。實際上，有無限多個解答。應用一項[[向量恆等式]]，
:<math>\nabla\times(\nabla \phi)=0\,\!</math> ，

給予任意函數 <math>\phi\,\!</math> ，那麼， <math>\mathbb{A}=\mathbf{A}+\nabla\phi\,\!</math> 也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為[[規範自由]]。

==磁場線==
[[File:Magnet0873.png|thumb|268px|透過鐵粉顯示出的[[磁場線]]。將條狀磁鐵放在白紙下面，鋪灑一堆鐵粉在白紙上面，這些鐵粉會依著[[磁場線]]的方向排列，形成一條條的曲線，在曲線的每一點顯示出磁場線的方向。]]
{{main|磁場線}}
磁場，就像任何向量場，可以用[[場線]]來描繪其軌跡。磁場線是一組曲線，其方向對應於磁場的方向，其面密度與磁場的大小成正比。因為磁場的散度等於零，磁場線沒有初始點，也沒有終結點。磁場線或者形成一個閉迴圈，或者兩個端點都延伸至無窮遠。

==磁單極子==
{{main|磁單極子}}
假若，有科學家發現磁單極子存在於宇宙，則高斯磁定律不正確，必須修正。磁場的散度會與[[磁單極子|磁荷密度]] <math>\rho_m\,\!</math> 成正比<ref name=Jackson1999 />：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{B} = \mu_0\rho_m\,\!</math> 。

其中，<math>\mu_0\,\!</math> 是[[磁常數]]。

==必歐-沙伐定律==
{{main|必歐-沙伐定律}}
從必歐-沙伐定律，可以推導出高斯磁定律。必歐-沙伐定律闡明，設定[[電流密度]] <math>\mathbf{J}(\mathbf{r}')\,\!</math> ，則磁場為
:<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} d^3r' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\,\!</math> ；

其中，<math>\mathbf{r}'\,\!</math> 是源位置，<math>\mathbf{r}\,\!</math> 是場位置，<math>\mathbb{V}'\,\!</math> 是積分的體積，<math>d^3 r'\,\!</math> 是微小體積元素。

應用一項[[向量恆等式]]，
:<math>\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = - \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)\,\!</math> ，

將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於[[梯度]]只作用於無單撇號的坐標，可以移到積分外，改為[[旋度]]：
:<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla\times\int_{\mathbb{V}'} d^3r' \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,\!</math> 。

應用一項[[向量恆等式]]，
:<math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\,\!</math> 。

所以，高斯磁定律成立：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0\,\!</math> 。

==參閱==
*[[磁矩]]
*[[安培力定律]]
*[[必歐-沙伐定律]]
*[[電磁場的數學表述]]

==參考文獻==
{{reflist}}

{{电磁学}}
{{卡爾·弗瑞德呂希·高斯}}
[[Category:卡尔·弗里德里希·高斯]]
[[Category:靜磁學|G]]
[[Category:電磁學|G]]
[[Category:磁單極子]]