查看“︁高斯曲率”︁的源代码

[[File:Gaussian_curvature.PNG|thumb|由左至右：负高斯曲率曲面（[[双曲面]]），零高斯曲率曲面（[[圆柱面]]），和正高斯曲率曲面（[[球面]]）。]]

[[微分几何]]中，[[曲面]]上一点的'''高斯曲率'''是该点[[主曲率]]<math>\kappa_1</math>和<math> \kappa_2</math>的乘积。它是曲率的''内在''度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何[[嵌入]]到空间。这个结果是[[高斯]][[绝妙定理]]的主要内容。

用符号表示，高斯[[曲率]]<math> K</math>定义为
:<math>\Kappa = \kappa_1 \kappa_2 \,\!</math>.

也可以如下给出
: <math>\Kappa = \frac{\langle (\nabla_2 \nabla_1 - \nabla_1 \nabla_2)\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle}{\det g},</math>
其中<math>\nabla_i = \nabla_{{\mathbf e}_i}</math>是[[协变导数]]而<math> g</math>是[[度量张量]]。

<math> \mathbf{R}^3</math>中的正规曲面的一点<math> \mathbf{p}</math>，则高斯曲率为
: <math>K(\mathbf{p}) = \det(S(\mathbf{p})),</math>
其中<math> S</math>为[[形算子]]。

关于高斯曲率的一个很有用的公式是用[[等温坐标]]中的拉普拉斯算子表达的[[刘维尔方程]]。

==非形式化定义==

利用隐函数定理将曲面用二元函数<math> f</math>的图像来表示，并且假设点<math> p</math>为临界点，也即f在该点的梯度为0（这总是可以通过适当的刚体运动来实现）。然后<math> p</math>点的高斯曲率就是<math> f</math>在点<math> p</math>的[[黑塞矩阵]]（二阶导数组成的2×2矩阵）的行列式。这个定义只要用基本的微积分知识就可以理解杯底或者帽顶“对应”鞍点的区别。

==总曲率==
[[File:Hyperbolic triangle.svg|thumb|负曲率曲面上的三角形三角之和小于平面三角形的三角之和。]]

曲面上某个区域的高斯曲率的[[曲面积分]]称为'''总曲率'''。[[测地线|测地]][[三角形]]（即黎曼球面几何中的三角形）的总曲率等于它的内角和与<math>\pi</math>的差。正曲率曲面上的三角形的内角和大于<math>\pi</math>，而负曲率曲面上的三角形的内角和小于<math>\pi</math>。零曲率曲面上（如[[欧几里得平面]]），其内角和等于<math>\pi</math>。

:<math>\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA.</math>

更一般的结果是[[高斯-博内定理]]。

==重要定理==
===绝妙定理===
{{main|绝妙定理}}
高斯的'''绝妙定理'''断言曲面的高斯曲率由曲面上长度的测量本身决定。事实上，它完全由[[第一基本形式]]决定并且可以用第一基本形式及其一阶和二阶[[偏导数]]表达。等价地，嵌入在<math> \mathbf{R}^3</math>中的曲面的[[第二基本形式]]的[[行列式]]也可以这样表达。定理的“绝妙”之处在于，虽然<math> \mathbf{R}^3</math>中的曲面<math> S</math>上的高斯曲率的定义明显依赖于曲面各点在空间中的定位，而高斯曲率本身只要曲面上的内在度量就可以决定，而与环境空间没有进一步的关联：它是一个[[内蕴]][[不变量]]。精确地讲，高斯曲率在曲面的[[等度]]变换下保持不变。

在现代[[微分几何]]中，"曲面"抽象的看来是一个二维[[微分流形]]。将这个观点和[[曲面微分几何|曲面的经典理论]]联系起来的是将抽象曲面[[嵌入]]到<math> \mathbf{R}^3</math>中，并用第一基本形式赋予[[黎曼度量]]。假设这个嵌入在<math> \mathbf{R}^3</math>中的像是曲面''<math> S</math>''。''局域等度''就是<math> \mathbf{R}^3</math>中的开区域之间的[[微分同胚]]<math> f: U\rightarrow V</math>，限制到<math> S\cap U</math>就是到自己的像的[[等度变换]]。'''绝妙定理'''可以如下表述：

:嵌入到<math> \mathbf{R}^3</math>的光滑曲面的高斯曲率在局域等度下不变。

例如[[圆柱面]]的高斯曲率为0，和“展开”后得到的平面是一样的。<ref>Porteous, I. R., ''Geometric Differentiation''. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0-521-39063-X</ref>另一方面，因为半径为<math> R</math>的[[球面]]有正常数曲率<math> R^{-2}</math>而平面有常数曲率0，这两个曲面不是等度的，即使局部也不行。因此即使是一部分球面的平面表示也会扭曲距离。所以没有[[测绘映射]]是完美的。

===高斯-博内定理===
{{main|高斯-博内定理}}
高斯-博内定理将曲面的总曲率和它的[[欧拉示性数]]联系起来，并且给出了一个局部几何性质和全局拓扑性质的重要关联。

== 常曲率曲面 ==

*'''Minding定理'''(1839年)断言所有具有相同常曲率''K''的曲面局域[[等度]]。Minding的一个结果是所有曲率为0的曲面可以通过弯曲平面区域来构造。这样的曲面称为[[可展曲面]]。Minding也提出了有常正曲率的[[闭曲面]]是否刚性的问题。

*'''Liebmann定理''' (1900年)解决了Minding的问题。唯一常正曲率正则<math> (C^2)\mathbf{R}^3</math>中的闭曲面是[[球面]]。<ref>{{cite book | last = Kühnel | first = Wolfgang | title = Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds | publisher = American Mathematical Society | date = 2006 | id = ISBN 0821839888}}</ref>

*'''[[希尔伯特定理]]''' (1901年)断言在<math> \mathbf{R}^3</math>中不存在常负高斯曲率的完全解析（<math> C^\omega</math>）正则曲面。事实上，对于浸入到<math> \mathbf{R}^3</math>的<math> C^2</math>曲面也成立，但是对于<math> C^1</math>-曲面却不成立。[[伪球面]]有常负高斯曲率，除了在其[[尖点]]。<ref>{{Cite web |url=http://eom.springer.de/h/h047410.htm |title=''Hilbert theorem''. Springer Online Reference Works. |access-date=2008-09-24 |archive-date=2011-11-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111102221642/http://eom.springer.de/h/h047410.htm |dead-url=no }}</ref>

==其它公式==

*<math> \mathbf{R}^3</math>中的曲面的高斯曲率可以表达为[[第二基本形式]]和[[第一基本形式]]的[[行列式]]的商：

:<math>K = \frac{\det II}{\det I} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}.</math>

*'''Brioschi公式'''只用第一基本形式给出高斯曲率:
:<math> K = \frac{ \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix}}{(EG-F^2)^2} </math>

*对于'''[[正交坐标|正交]]参数化'''，高斯曲率为：
:<math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right).</math>

*高斯曲率是'''测地圆的[[周长]]'''和平面上的圆的周长之差的极限:
:<math>K  = \lim_{r \rarr 0} [2 \pi r  - \mbox{C}(r)] \cdot \frac{3}{\pi r^3}</math>

*高斯曲率是'''测地圆的[[面积]]'''和平面上的圆的面积之差的极限：
:<math>K  = \lim_{r \rarr 0} [\pi r^2  - \mbox{A}(r)] \cdot \frac{12}{\pi r^4}</math>

*高斯曲率可以用'''[[克里斯托费尔记号]]'''表达: <ref>{{cite book | last = Struik | first = Dirk| title = Lectures on Classical Differential Geometry | publisher = Courier Dover Publications | date = 1988 | id = ISBN 0486656098}}</ref>
:<math>K = -\frac{1}{E} \left( \frac{\partial}{\partial u}\Gamma_{12}^2 - \frac{\partial}{\partial v}\Gamma_{11}^2 + \Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2 - \Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2 + \Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2\right)</math>

== 参考==
<references/>
==参看==
* [[截面曲率]]
* [[平均曲率]]
* [[绝妙定理]]
* [[高斯映射]]

{{曲率}}
{{卡爾·弗瑞德呂希·高斯}}
[[Category:卡尔·弗里德里希·高斯]]
[[Category:曲率]]
[[Category:微分几何|G]]
[[Category:曲面微分几何]]
[[Category:曲面]]