查看“︁高斯映射”︁的源代码

[[Image:Gauss map.svg|thumb|400px|高斯映射將曲線或曲面上每一點映射到單位圓或單位球面上的對應點。]]
在[[微分幾何]]裡，'''高斯映射'''是從[[歐氏空間]]'''R'''<sup>3</sup>中的一個[[曲面]]到單位[[球面]]''S''<sup>2</sup>的一個映射。高斯映射是以[[卡爾·弗里德里希·高斯]]命名。

給出'''R'''<sup>3</sup>中的曲面''X''，高斯映射是一個[[連續映射]]''N'': ''X'' → ''S''<sup>2</sup>，使得''N''(''p'')是在點''p''上[[正交]]於''X''的單位[[向量]]，就是曲面''X''在點''p''處的[[法向量]]。

高斯映射可以在曲面的整體上定義，[[當且僅當]]曲面是[[可定向]]的，此時其[[映射度]]等於[[歐拉示性數]]的一半。無論何時高斯映射都可以在曲面的局部上（即曲面的一小塊上）定義。高斯映射的[[雅可比矩陣|雅可比行列式]]等於[[高斯曲率]]，而高斯映射的[[微分]]稱為[[形狀算子]]。

高斯以此為題在1825年寫了一份初稿，並在1827年發表。

==全曲率==
高斯映射的[[像]]的面積稱為'''[[总曲率|全曲率]]'''，等於[[高斯曲率]]的[[曲面積分]]。這是起初高斯所給出的詮釋。[[高斯-博内定理]]將曲面的[[总曲率|全曲率]]和曲面的[[拓撲學|拓撲]]性質聯繫起來：
:<math> \iint_R |N_u \times N_v| \ du\, dv = \iint_R K|X_u \times X_v| \ du\, dv = \iint_R K \ dA</math>

==推廣==
高斯映射可以定義在'''R'''<sup>''n''</sup>中的[[超曲面]]上，從超曲面映射到'''R'''<sup>''n''</sup>中的單位球面''S''<sup>''n''-1</sup>。

==參考==
*Gauss, K. F., ''Disquisitiones generales circa superficies curvas'' (1827)
*Gauss, K. F., ''General investigations of curved surfaces'', English translation. Hewlett, New York: Raven Press (1965).

{{卡爾·弗瑞德呂希·高斯}}
[[Category:卡尔·弗里德里希·高斯]]
[[Category:曲面的微分幾何|G]]