查看“︁高斯散度定理”︁的源代码

{{Otheruses|subject=[[微积分学]]中的一种[[向量分析]]|other=电磁学中与电通量有关的定理|高斯定律}}
{{Refimprove |time=2014-03-20T13:34:44+00:00 }}
{{NoteTA
|1=zh-cn:奥斯特罗格拉德斯基;zh-tw:奧斯特洛格拉德斯基;}}
{{微積分學}}
'''高斯公式'''（Gauss's law），又称为'''高斯通量理论'''（Gauss' flux theorem）、'''散度定理'''（Divergence Theorem）、'''高斯散度定理'''（Gauss's Divergence Theorem）<ref>[https://indianexpress.com/article/jobs/upsc-combined-geo-scientist-and-geologist-exam-2020-notification-released-upsc-gov-in-upsconline-nic-in-6018217/ UPSC Combined Geo-Scientist And Geologist exam 2020: Check application process, exam dates, syllabus, paper pattern, other details] {{Wayback|url=https://indianexpress.com/article/jobs/upsc-combined-geo-scientist-and-geologist-exam-2020-notification-released-upsc-gov-in-upsconline-nic-in-6018217/ |date=20210402053341 }}.[[The Indian Express]].September 22, 2019.</ref>、'''高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式'''或'''高－奥公式'''，是指在[[向量分析]]中，一个把[[向量场]]通过闭合[[曲面]]的流动（即[[通量]]）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与[[斯托克斯定理]]（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理<ref>[https://ocw.chu.edu.tw/pluginfile.php/852/mod_resource/content/6/Summary_251.pdf 提要251：第一个重要的矢量定理--散度定理(Divergence Theorem)] {{Wayback|url=https://ocw.chu.edu.tw/pluginfile.php/852/mod_resource/content/6/Summary_251.pdf |date=20210402053324 }}.[[中华大学]].2011-12-22.</ref>。

更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于[[散度]]在曲面圍起來的體積上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出這区域的淨流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是[[静电学]]和[[流体力学]]。

在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于[[分部积分法]]。

==定理==
[[File:Divergence theorem.svg|thumb|right|250px|区域{{mvar|V}}，以带有法线{{mvar|n}}的面{{math|''S'' {{=}} ∂''V''}}为边界。]]
[[File:SurfacesWithAndWithoutBoundary.svg|right|thumb|250px|散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面；散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。]]
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域，[[函数]]<math>P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)</math>在<math>\Omega</math>上具有一阶连续[[偏导数]]，则有<ref>同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007</ref>

:{{oiint
| preintegral = <math>\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=</math>
| intsubscpt = <math>\scriptstyle \Sigma</math>
| integrand = <math>P\,\mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\land \mathrm{d}y</math>
}}

或

:{{oiint
| preintegral = <math>\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=</math>
| intsubscpt = <math>\scriptstyle \Sigma</math>
| integrand = <math>(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}S</math>
}}

这里<math>\Sigma</math>是<math>\Omega</math>的边界（boundary），<math>\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma</math>是<math>\Sigma</math>在点<math>(x,y,z)</math>处的單位法向量的[[方向余弦]]。

这两个公式都叫做'''高斯公式'''，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 <math>\iint_\Sigma (P,Q,R)\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S</math>，其中 <math>\mathbf{n}</math> 是曲面 <math>\Sigma</math> 的向外單位法向量。

这个定理是更一般的[[斯托克斯公式]]的特殊情形。

==用散度表示==
高斯公式用散度表示为：<ref>谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:向量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005</ref>

:{{oiint
| preintegral = <math>\iiint_{\Omega}\mathrm{div}\mathbf{F}\,\mathrm{d}v=</math>
| intsubscpt = <math>\scriptstyle \Sigma</math>
| integrand = <math>\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S .</math>
}}

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 <math>\mathbf{n}</math> 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

==用向量表示==

令''V''代表有一简单闭曲面''S''为边界的体积，<math>\mathbf{F}</math>是定义在''V''中和''S''上连续可微的向量场。如果<math>d\mathbf{S}</math>是外法向向量面元，则

:<math>\int_S \mathbf{F}\cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_V \nabla\cdot\mathbf{F}\mathrm{d}V</math>

==推论==

*对于标量函数''g''和向量场'''F'''的积，应用高斯公式可得：
::<math>
\iiint_V\left(\mathbf{F}\cdot \left(\nabla g\right) + g \left(\nabla\cdot \mathbf{F}\right)\right) \mathrm{d}V
  = \iint_{\partial V}g \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}
</math>

*对于两个向量场<math>\mathbf{F}\times \mathbf{G}</math>的向量积，应用高斯公式可得：
::<math>\iiint_V \left(\mathbf{G}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{F}\right) - \mathbf{F}\cdot \left( \nabla\times\mathbf{G}\right)\right)\, \mathrm{d}V = \iint_{\partial V}\left(\mathbf{F}\times\mathbf{G}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}</math>

*对于标量函数''f''和非零常向量的积，应用高斯公式可得：
::<math>\iiint_V \nabla f\, \mathrm{d}V = \iint\limits_{\partial V} f \,\mathrm{d}\mathbf{S}</math>

*对于向量场'''F'''和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：
::<math>\iiint_V \nabla\times\mathbf{F}\, \mathrm{d}V = \iint_{\partial V}\mathrm{d}\mathbf{S} \times\mathbf{F}.</math>

==例子==
[[File:Vector Field on a Sphere.png|thumb|例子所对应的向量场。注意，向量可能指向球面的内侧或者外侧。]]

假设我们想要计算 

:{{oiint
| intsubscpt = <math>\scriptstyle S</math>
| integrand = <math>\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \, \mathrm{d}S,</math>
}}

其中{{mvar|S}}是一个[[单位球面]]，定义为

:<math>S = \left \{ x,y, z \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 = 1 \right \}.</math>

'''F'''是[[向量场]]

:<math>\mathbf{F} = 2 x\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}.</math>

直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

:<math>
   \iiint_W (\nabla \cdot \mathbf{F})\,\mathrm{d}V
= 2\iiint_W (1 + y + z)\,\mathrm{d}V
= 2\iiint_W \mathrm{d}V + 2\iiint_W y\,\mathrm{d}V + 2\iiint_W z\,\mathrm{d}V.
</math>

其中{{mvar|W}}是单位球:

:<math>W = \left \{ x,y, z \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2\leq 1 \right \}.</math>

由于函数{{mvar|y}}和{{mvar|z}}是[[奇函数]]，我们有：

:<math>\iiint_W y\, \mathrm{d}V = \iiint_W z\, \mathrm{d}V = 0.</math>

因此：
:{{oiint
| intsubscpt = <math>\scriptstyle S</math>
| integrand = <math>\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S = 2\iiint_W\, \mathrm{d}V = \frac{8\pi}{3},</math>
}}

因为单位球{{mvar|W}}的[[体积]]是{{math|{{sfrac|4''π''|3}}}}.

==二阶张量的高斯公式==

'''二阶张量的高斯公式'''实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维[[欧几里得空间]]上的'''二阶张量'''（详见[[并矢张量]]或[[张量积]]）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用'''黑斜体'''字母表示，张量用'''正黑体'''字母表示。

# 两个向量<math>\boldsymbol{a}</math>和<math>\boldsymbol{b}</math>并排放在一起所形成的量<math>\boldsymbol{ab}</math>被称为向量<math>\boldsymbol{a}</math>和<math>\boldsymbol{b}</math>的'''并矢'''或'''[[并矢张量]]'''。要注意，一般来说，<math>\boldsymbol{ab} \neq \boldsymbol{ba}</math>。
# <math>\boldsymbol{ab} = 0</math>的充分必要条件是<math>\boldsymbol{a} = 0</math>或<math>\boldsymbol{b} = 0</math>。
# '''二阶张量'''就是'''有限个'''并矢的线性组合。
# <math>\boldsymbol{ab}</math>分别线性地依赖于<math>\boldsymbol{a}</math>和<math>\boldsymbol{b}</math>。
# 二阶张量<math>\mathbf{T}</math>和向量<math>\boldsymbol{a}</math>的縮併<math>\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a}</math>以及<math>\boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}</math>对  <math>\mathbf{T}</math>和<math>\boldsymbol{a}</math>都是[[线性]]的。
# 特别是，当<math>\mathbf{T} = \boldsymbol{uv}</math>时，
:<math>
  \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{uv}) \cdot \boldsymbol{a}
 = \boldsymbol{u} (\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{a})
  \, , \qquad
  \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{uv})
 = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) \, \boldsymbol{v}
 ,
</math>
所以，一般说来，<math>\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}</math>。

下面举一个例子：用二阶张量及其与向量的縮併来重新写<math>(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}</math>和<math>\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})</math>。
:<math>
  (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}
 = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b}
  - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{a}
 = - (\boldsymbol{ab} - \boldsymbol{ba}) \cdot \boldsymbol{c}
  \, , \qquad
  \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})
 = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b}
  - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \, \boldsymbol{c}
 = - \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{bc} - \boldsymbol{cb})
  \, .
</math>

我们还用到二阶张量<math>\mathbf{T}</math>的''转置''<math>\mathbf{T}'</math>（又可以记为<math>\mathbf{T}^{\mathrm{t}}</math>），定义如下：
# <math>\mathbf{T}'</math>仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于<math>\mathbf{T}</math>。
# <math>(\boldsymbol{uv})' = \boldsymbol{vu}</math>。

'''定理：'''设 <math>V</math>是三维[[欧几里得空间]]中的一个有限[[区域]]，<math>S</math>是它的[[边界]]曲面，<math>\hat{\boldsymbol{n}}</math>是<math>S</math>的外法线方向上的[[单位向量]]，<math>\mathbf{T}</math>是定义在<math>V</math>的某个[[开邻域]]上的<math>C^1</math>连续的二阶张量场，<math>\mathbf{T}'</math>是<math>\mathbf{T}</math>的转置，则
:<math>
  \iint_S \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \mathbf{T} \, \mathrm{d}S
 = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T} \, \mathrm{d}V
  \, , \qquad
  \iint_S  \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S
 = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, \mathrm{d}V
  \, .
</math>

'''证明：'''下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为<math>\boldsymbol{F}</math>，则
:<math>
  \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F}
 = \boldsymbol{e}_i \cdot \iint_S \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S
 = \iint_S \boldsymbol{e}_i \cdot \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S
 = \iint_S T^{ij} \boldsymbol{e}_j \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S
  \, .
</math>
接下来利用向量场的[[高斯公式]]，可得
:<math>
  \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F}
 = \iiint_V \nabla \cdot (T^{ij} \boldsymbol{e}_j) \, \mathrm{d}V
 = \iiint_V \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V
  \, ,
</math>
于是
:<math>
  \boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \, (\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F})
 = \boldsymbol{e}_i \iiint_V \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V
 = \iiint_V \boldsymbol{e}_i \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V
 = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, \mathrm{d}V
  \, .
</math>
至此证毕。

==参阅==
*[[格林定理]]
*[[斯托克斯定理]]

==参考文献==
<references/>

[[Category:卡尔·弗里德里希·高斯]]
[[Category:微積分定理|G]]
[[Category:向量分析]]