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在[[交換代數]]中，一個[[环 (代数)|環]] <math>R</math> 的[[理想 (環論)|理想]] <math>I</math> 的'''高度'''是包含於 <math>I</math> 的[[素理想]]鏈長度之[[上確界]]。

素理想鏈及其長度的定義如下：設交換環 <math>R</math> 中有 <math>n+1</math> 個[[素理想]] <math>P_0, \ldots, P_n</math>，使得
: <math>P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n</math>
則稱之為長度為 <math>n</math> 的'''素理想鏈'''。若 <math>P_n \subset I</math>，則稱此鏈包含於 <math>I</math>。一個無法插入新的素理想的鏈被稱作'''極大'''的

在[[代數幾何]]中，這可以詮釋為閉子概形 <math>\mathrm{Spec}(R/I) \subset \mathrm{Spec}(R)</math> 的餘維度。

在[[諾特環]]的情形，''Krull 高度定理''斷言：由 <math>n</math> 個元素生成的理想其高度必 <math>\leq n</math>。

==文獻==
* H. Matsumura, ''Commutative algebra''. ISBN 0-8053-7026-9.

[[Category:交換代數|G]]
[[Category:环论]]