查看“︁高合成数”︁的源代码

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[[File:Highly composite number Cuisenaire rods 6.png|75px|thumb|以[[古氏积木]]為例，說明前四個高合成数：1, 2, 4, 6]]

'''高合成数'''（highly composite number）指一类[[整數]]，任何比它小的[[自然数]]的[[因子]]数目均比这个数的因子数目少。這個詞是由[[斯里尼瓦瑟·拉马努金]]所創建。但是{{le|讓-皮埃爾·卡汗|Jean-Pierre Kahane}}認為[[柏拉图]]已有提出此一概念，柏拉图認為城市理想的人口數為[[5040]]，因為這個數的因子數量多過任何一個比小於它的數<ref>{{citation|first=Jean-Pierre|last=Kahane|title=Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre|journal=Notices of the American Mathematical Society|date=February 2015|volume=62|issue=2|pages=136–140}}. Kahane 引用柏拉图的《法律篇》 771c.</ref>。

以數字6為例，小於6的數字中，因子最多的數是4，有3個因子（1,2,4），而6有4個因子（1,2,3,6），因此6是高合成数。

高合成数的名稱容易讓人誤以為其中都是[[合成数]]，其實前二個高合成数1和2都不是合成数。

最小的20个高合成数为：

{| border=0 width= cellpadding=4 cellspacing=0 style="text-align:center"
|-bgcolor=#F0F0F0
| bgcolor=#FFFFFF|
| [[1]],
| [[2]],
| [[4]],
| [[6]],
| [[12]],
| [[24]],
| [[36]],
| [[48]],
| [[60]],
| [[120]],
| [[180]],
| 240,
| 360,
| 720,
| 840,
| 1260,
| 1680,
| 2520,
| 5040,
| 7560,
| bgcolor=#FFFFFF|{{oeis|A002182}}
|-
| 正因子个数
| '' 1,'' || '' 2,'' || '' 3,'' || '' 4,''  || '' 6,'' || '' 8,''  || '' 9,'' || ''10,''
| ''12,'' || ''16,'' || ''18,'' || ''20,''  || ''24,'' || ''30,''  || ''32,'' || ''36,''
| ''40,'' || ''48,'' || ''60,'' || ''64,''   
| bgcolor=#FFFFFF|{{oeis|A002183}}
|}

高度合成数有无限个。為了证明这点，可用[[反证法]]。假设<math>n</math>是最大的高度合成数。显然<math>2n</math>比<math>n</math>有更多因子，所以<math>2n</math>才是最大的高度合成数，矛盾，故高度合成数有无限个。

大於6的高度合成數亦是[[豐數]]。

這些數常見於量度系統，在工程設計亦很常用，因為它們在[[分數]]計算時很方便。

若 ''Q''(''x'')表示所有小於或等於''x''的高度合成数的数目，則存在两个均大於1的常数<math>a,b</math>，使得∶
:<math>\ln(x)^a \le Q(x) \le \ln(x)^b \, .</math>
==相關條目==
* {{le|Superior highly composite number|Superior highly composite number}}
* [[高歐拉商數]]
* {{le|因數表|Table of divisors}}
* [[欧拉函数]]
* {{le|Round number|Round number}}
* [[光滑數]]
==參考資料==
{{reflist}}
==外部的連結==
* {{MathWorld|urlname=HighlyCompositeNumber|title=Highly Composite Number}}
* [https://web.archive.org/web/19980707133810/http://www.math.princeton.edu/~kkedlaya/math/hcn-algorithm.tex Algorithm for computing Highly Composite Numbers]
* [https://web.archive.org/web/19980707133953/http://www.math.princeton.edu/~kkedlaya/math/hcn10000.txt.gz First 10000 Highly Composite Numbers]
* [http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html  Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors] {{Wayback|url=http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html |date=20210225161304 }}
* [http://www.javascripter.net/math/calculators/highlycompositenumbers.htm Online Highly Composite Numbers Calculator] {{Wayback|url=http://www.javascripter.net/math/calculators/highlycompositenumbers.htm |date=20200311160354 }}

{{Divisor classes navbox}}

[[Category:整数数列|G]]