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'''高互補歐拉商數'''（{{lang|en|'''highly cototient number'''}}）''k''是有以下性質，大於1的[[正整數]]：使以下方程式有多個解

:x - φ(''x'') = ''k''

其中φ是[[歐拉函數]]，而且若''k''用其他較小的整數代入時，解的個數都會比剛剛的個數要少。若k=1時，上式會有無窮多組解，因此在定義上，''k''需是大於1的正整數。前幾個高互補歐拉商數為<ref>{{Cite OEIS|A100827|name=Highly cototient numbers}}.</ref>：

:[[2]], [[4]], [[8]], [[23]], [[35]], [[47]], [[59]], [[63]], [[83]], [[89]], [[113]], [[119]], [[167]], [[209]], [[269]], 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889, ... {{OEIS|id=A100827}}

許多高互補歐拉商數是奇數，大於8的高互補歐拉商數都是奇數，大於167的高互補歐拉商數都是29 [[模算數|mod]] 30的數{{Citation needed|date=2021年8月}}。

高互補歐拉商數的概念類似[[高合成數]]。高合成數有無限多個，而高互補歐拉商數也有無限多個。但數字越大，要進行[[整数分解]]也就越難，因此判斷高互補歐拉商數也越難。

==例子==
<math>x</math>的互補歐拉商數（cototient）定義為<math>x - \phi(x)</math>，也就是小於等於此數的正整數中，和此數至少有一個共同[[質因數]]（即不[[互質]]）的正整數。例如6的互補歐拉商數是4，因為有4個小於等於6的正整數和6有共同的質因數：2, 3, 4, 6，因此6的互補歐拉商數是4。只有二個整數（6和8）的互補歐拉商數是4。而互補歐拉商數是2和3的整數都不到2個，因此4是高互補歐拉商數。

{{OEIS|id=A063740}}

{|class = "wikitable"
|-
| style="text-align:center" | '''''k'''''（高互補歐拉商數會用粗體表示）|| 0 || 1 || '''2''' || 3 || '''4''' || 5 || 6 || 7 || '''8''' || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 || 21 || 22 || '''23''' || 24 || 25 || 26 || 27 || 28 || 29 || 30
|-
|''x'' – φ(''x'') = ''k''解的個數 || 1 || ∞ || 1 || 1 || 2 || 1 || 1 || 2 || 3 || 2 || 0 || 2 || 3 || 2 || 1 || 2 || 3 || 3 || 1 || 3 || 1 || 3 || 1 || 4 || 4 || 3 || 0 || 4 || 1 || 4 || 3
|}

{|class="wikitable"
|''n''
|使得<math>k-\phi(k)=n</math>的''k'' 
|使得<math>k-\phi(k)=n</math>的''k''的個數 {{OEIS|id=A063740}}
|-
|0
|1
|1
|-
|1
|2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... （所有的質數）
|∞
|-
|'''2'''
|4
|1
|-
|3
|9
|1
|-
|'''4'''
|6, 8
|2
|-
|5
|25
|1
|-
|6
|10
|1
|-
|7
|15, 49
|2
|-
|'''8'''
|12, 14, 16
|3
|-
|9
|21, 27
|2
|-
|10
|
|0
|-
|11
|35, 121
|2
|-
|12
|18, 20, 22
|3
|-
|13
|33, 169
|2
|-
|14
|26
|1
|-
|15
|39, 55
|2
|-
|16
|24, 28, 32
|3
|-
|17
|65, 77, 289
|3
|-
|18
|34
|1
|-
|19
|51, 91, 361
|3
|-
|20
|38
|1
|-
|21
|45, 57, 85
|3
|-
|22
|30
|1
|-
|'''23'''
|95, 119, 143, 529
|4
|-
|24
|36, 40, 44, 46
|4
|-
|25
|69, 125, 133
|3
|-
|26
|
|0
|-
|27
|63, 81, 115, 187
|4
|-
|28
|52
|1
|-
|29
|161, 209, 221, 841
|4
|-
|30
|42, 50, 58
|3
|-
|31
|87, 247, 961
|3
|-
|32
|48, 56, 62, 64
|4
|-
|33
|93, 145, 253
|3
|-
|34
|
|0
|-
|'''35'''
|75, 155, 203, 299, 323
|5
|-
|36
|54, 68
|2
|-
|37
|217, 1369
|2
|-
|38
|74
|1
|-
|39
|99, 111, 319, 391
|4
|-
|40
|76
|1
|-
|41
|185, 341, 377, 437, 1681
|5
|-
|42
|82
|1
|-
|43
|123, 259, 403, 1849
|4
|-
|44
|60, 86
|2
|-
|45
|117, 129, 205, 493
|4
|-
|46
|66, 70
|2
|-
|'''47'''
|215, 287, 407, 527, 551, 2209
|6
|-
|48
|72, 80, 88, 92, 94
|5
|-
|49
|141, 301, 343, 481, 589
|5
|-
|50
|
|0
|}

==質數==

高互補歐拉商數中，頭幾個是[[質數]]的是<ref>{{Cite OEIS|A105440|name=Highly cototient numbers that are prime}}</ref>

:2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839, 1049, 1259, 1889, 2099, 2309, 2729, 3359, 3989, 4289, 4409, 5879, 6089, 6719, 9029, 9239, ... {{OEIS|id=A105440}}

==相關條目==
* [[高歐拉商數]]

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:整数数列]]