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{{關於|駐點或者一個真實變量的實值函數的臨界點|一般概念|臨界點 (數學)|物理学上流体中速度为零的点|滞点}}
{{NoteTA|G1=Math}}
{{微积分学}}

'''驻点'''（{{lang-en|stationary point}}）或'''稳定点'''在[[數學]]，特別在[[微積分學|微積分]]中是指[[函數]]在一點处的一階[[導數]]為零，该点即函数的驻点。
[[File:Stationary vs inflection pts.svg|350px|thumb|y = x + sin(2x) 的圖像<br />
驻點（紅色）與[[拐点]]（藍色），這圖像的驻點都是局部極大值或局部極小值。]]
[[File:X Cubed.svg|thumb|y = x<sup>3</sup> 的圖像 <br /> 原點(0,0)是驻点，但不是局部極值。]]

也就是說若 <math>p</math> 為駐點則
:<math> \left.\frac{dy}{dx}\right|_p=0 \,</math>

在這一點，函數的輸出值停止增加或減少。

对于一维函数的图像，驻点的[[切线]]平行于x轴即水平切线。对于二维函数的图像，驻点的[[切平面]]平行于xy平面。

值得注意的是，一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点{{notetag|考虑到这一点左右一阶导数符号不改变的情况}}；反过来，在某設定區域內，一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点{{notetag|考慮到[[邊界條件]]}}，例如函数<math>f(x)=x^{3}</math>。对于[[可微函数]]，极值点一定是驻点。

== 靜態平衡系統 ==
在[[分析力學]]裏，[[虛功原理]]闡明，對於一個[[靜態平衡]]系統，所有外力的作用，經過[[虛位移]]，所作的虛功，總合等於零，以方程式表達，
:<math>\delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0\,</math>；

其中，<math>\delta W\,</math>是虛功，<math>\mathbf {F}_{i}\,</math>是第<math>i\,</math>個外力，<math>\mathbf{r}_i \,</math>是對應於<math>\mathbf {F}_{i}\,</math>的虛位移。

轉換為以[[廣義力]]<math>F_i\,</math>和[[廣義坐標]]<math>q_i\,</math>表達，
:<math>\delta W = \sum_{i} F_i \delta q_i = 0\,</math>；

假設這系統是[[保守系統]]，則每一個廣義力都是一個[[标量 (物理学)|純量]]的[[廣義位勢]][[函數]]<math>V(q_1,q_2,\dots,q_n)\,</math>的對於其對應的廣義坐標的[[導數]]：
:<math>F_{i} = - \frac{\partial V}{\partial q_i}\,</math>。

虛功與廣義位勢的關係為
:<math>\delta W = \sum_{i}  - \frac{\partial V}{\partial q_i} \delta q_i = - \delta V=0\,</math>。

所以，一個靜態平衡系統的位勢<math>V\,</math>乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這這系統處於穩定狀態，則位勢<math>V\,</math>必須是個局域[[極小值]]。

== 歐拉-拉格朗日方程式 ==
{{main|歐拉-拉格朗日方程式}}
在[[變分法]]裏，歐拉-拉格朗日方程式是從其對應的[[泛函]]的平穩點推導出的一種[[微分方程式]]。設定
:<math>\mathbf{y}(x)=(y_1(x),\ y_2(x),\ \ldots, y_N(x))\,\!</math>，
:<math>\dot{\mathbf{y}}(x)=(\dot{y}_1(x),\ \dot{y}_2(x),\ \ldots,\ \dot{y}_N(x))\,\!</math>，
: <math>f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=f(y_1(x),\ y_2(x),\ \ldots,\ y_N(x),\ \dot{y}_1(x),\ \dot{y}_2(x),\ \ldots,\ \dot{y}_N(x),\ x)\,\!</math>。

若<math>\mathbf{y}(x)\in(C^1[a,\ b])^N\,\!</math>使[[泛函]]<math> J(\mathbf{y})=\int_a^bf(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)dx\,\!</math>取得局部平穩值，則在區間<math>(a,\ b)\,\!</math>內對於所有的<math> i=1,\ 2,\ \ldots,\ N\,\!</math>，歐拉-拉格朗日方程式成立：

:<math> \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial \dot{y}_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x) - \frac{\partial}{\partial y_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=0\,\!</math>。

==注释==
{{notefoot}}
== 参见 ==
* [[最优化]]
* [[费马引理]]
* [[鞍点]]
* [[不动点]]

[[Category:微分学|Z]]
[[分类:数学概念]]
[[de:Extrempunkt]]