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[[Image:Diagram of a Markov blanket.svg|frame|[[贝叶斯网络]]中，节点''A''的马尔可夫边界包括其父节点、子节点及所有子节点的其他父节点。]]

[[统计学]]和[[机器学习]]中，想用一组变量推断一个随机变量时，通常子集就够了，其他变量都是无用的。这种包含所有有效信息的子集就称作'''马尔可夫毯'''（Markov blanket）。若马尔可夫毯是最小的，即放弃任何变量都会损失信息，就称之为'''马尔可夫边界'''（Markov boundary）。识别马尔可夫毯和马尔可夫边界有助于提取有用特征。这两个术语是[[朱迪亚·珀尔]] (1988)创造的。<ref>{{cite book |last=Pearl |first=Judea |authorlink=Judea Pearl |title=Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inference |publisher=Morgan Kaufmann |location=San Mateo CA |year=1988 |isbn=0-934613-73-7 |series=Representation and Reasoning Series |url-access=registration |url=https://archive.org/details/probabilisticrea00pear }}</ref>马尔可夫毯可视作是多个[[马尔科夫链]]组成的。

== 马尔可夫毯 ==
随机变量集<math>\mathcal{S}=\{X_1,\ldots,X_n\}</math>中随机变量''Y''的马尔可夫毯是<math>\mathcal{S}</math>的任意子集<math>\mathcal{S}_1</math>，条件是其他变量与''Y''相互独立：

<math display="block">Y\perp \!\!\! \perp\mathcal{S}\backslash\mathcal{S}_1 \mid \mathcal{S}_1.</math>

即，<math>\mathcal{S}_1</math>至少包含推断''Y''所需的全部信息，其中<math>\mathcal{S}\backslash\mathcal{S}_1</math>中的变量是冗余的。

一般来说，给定的马尔可夫毯不唯一。<math>\mathcal{S}</math>中任何包含马尔可夫毯的集合本身也是马尔可夫毯。 具体说，<math>\mathcal{S}</math>是<math>\mathcal{S}</math>中''Y''的马尔可夫毯。

== 马尔可夫边界 ==
<math>\mathcal{S}</math>中''Y''的'''马尔可夫边界'''是<math>\mathcal{S}</math>的子集<math>\mathcal{S}_2</math>，使得<math>\mathcal{S}_2</math>本身是''Y''的马尔可夫毯，但<math>\mathcal{S}_2</math>的真子集都不是''Y''的马尔可夫毯。也就是说，马尔可夫边界是最小马尔可夫毯。

[[贝叶斯网络]]中[[顶点 (图论)|节点]]''A''的马尔可夫边界是由''A''的父节点、子节点与子节点的其他父节点构成的节点集。[[马尔可夫网络]]中，节点的马尔可夫边界是其邻节点集合。[[依赖网络]]中，节点的马尔可夫边界是其父节点的集合。

=== 马尔可夫边界的唯一性 ===
马尔可夫边界总存在。某些较温和的条件下，马尔可夫边界是唯一的。但对大多数情形，多个马尔可夫边界可能会提供不同的解。<ref>{{cite journal |last1=Statnikov |first1=Alexander |last2=Lytkin |first2=Nikita I. |last3=Lemeire |first3=Jan |last4=Aliferis |first4=Constantin F. |title=Algorithms for discovery of multiple Markov boundaries |journal=Journal of Machine Learning Research |date=2013 |volume=14 |pages=499-566 |url=http://www.jmlr.org/papers/volume14/statnikov13a/statnikov13a.pdf}}</ref>存在多个马尔可夫边界时，测量因果效应的数量可能失效。<ref>{{cite journal |last1=Wang |first1=Yue |last2=Wang |first2=Linbo |title=Causal inference in degenerate systems: An impossibility result |journal=Proceedings of the 23rd International Conference on Artificial Intelligence and Statistics |date=2020 |pages=3383-3392 |url=http://proceedings.mlr.press/v108/wang20i.html |access-date=2024-06-09 |archive-date=2024-05-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240521203111/https://proceedings.mlr.press/v108/wang20i.html |dead-url=no }}</ref>

== 另见 ==
* [[安德烈·马尔可夫]]
* [[自由能原理]]
* [[道德图]]
* [[关注点分离]]
* [[因果关系]]
* [[因果推断]]

==注释==
<references/>

[[Category:贝氏网络]]
[[Category:马可夫网络]]