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[[不定方程]]<math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 3 x_1 x_2 x_3</math>稱為'''馬爾可夫方程'''（{{lang-en|Markov equation}}或Markoff equation）。

求解方法如下：

* 先憑觀察找出<math>(x_1, x_2, x_3) = (1,1,1)</math>這組解。
* 方程可視為一個<math>x_3</math>為未知數的[[一元二次方程]]。根據[[韋達定理]]，可知<math>(x_1, x_2, 3 x_1 x_2 - x_3)</math>　（留意<math>3 x_1 x_2 - x_3 = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>）也是一個解。

這個方程有無限個解。

事實上，用這個方法由(1,1,1)開始，可以找出這方程的所有正整數數組解。

在此不定方程的解出現的正整數稱為'''馬爾可夫數'''（{{lang-en|Markov number}}），它們由小到大是：
: 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （[[OEIS:A002559]]）
它們組成的解是：
: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

== 馬爾可夫數的特性 ==
[[File:Diagram of Markoff tree.png|450px|thumb|馬爾可夫方程的解]]
馬爾可夫數可以排成一棵[[二元樹]]（如圖）。

在二元樹上，和 1 的範圍相鄰的數（即二元樹的上方，2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契數。

和 2 的範圍鄰接的數（即二元樹的下方，1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特質：它們都是相隔的佩爾數。<ref>[{{cite web|url=http://planetmath.org/encyclopedia/MarkovNumber.html|title=PlanetMath: Markov number|archiveurl=https://web.archive.org/web/20081202181159/http://planetmath.org/encyclopedia/MarkovNumber.html|archivedate=2008-12-02|access-date=2007-08-17|dead-url=no}} {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/MarkovNumber.html |date=20081202181159 }}{{en}}</ref>

== 猜想 ==
每個數只在樹上出現一次（即沒有正整數<math>z</math>使得<math>(a, b, z), (c, d, z)</math>都是方程的解，其中<math>a,b,c,d</math>是兩兩相異的正整數，且<math>a>b>z, c>d>z</math>）。<ref>Tom Ace，[http://www.minortriad.com/markoff.html Markoff numbers (minortriad.com)] {{Wayback|url=http://www.minortriad.com/markoff.html |date=20190123085841 }}{{en}}</ref>
== 赫爾維茨方程 ==
馬爾可夫-赫維茲方程（{{lang-en|Markov-Hurwitz equation}}），是指形式如<math>x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = a x_1 x_2 ... x_n</math>的不定方程，其中<math>a,n</math>是正整數。

[[阿道夫·赫維茲]]證明了：方程有<math>(0, ..., 0)</math>之外的解的[[必要條件]]之一是<math>a \le n</math>。<ref>[http://eom.springer.de/h/h110360.htm Springer Online Reference Works: Hurwitz equation] {{Wayback|url=http://eom.springer.de/h/h110360.htm |date=20110327234420 }}{{en}}</ref>

== 參考 ==
<references/>

[[Category:丟番圖方程]]
[[Category:丢番图逼近]]
[[Category:斐波那契数]]
{{math-stub}}