查看“︁馬爾可夫不等式”︁的源代码

{{expert|time=2012-09-02T04:08:17+00:00}}
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|G1=Math
|T=zh-cn:马尔可夫不等式;zh-tw:馬可夫不等式;zh-hant:馬爾可夫不等式
|1=zh-cn:马尔可夫;zh-tw:馬可夫;zh-hant:馬爾可夫
|3=zh-cn:单调增加函数;zh-tw:單調遞增函數
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[[File:Markov Inequality.svg|thumb|300px|right|马尔可夫不等式提供了<math>f(x)</math>超過某特定數值<math>\epsilon</math>（圖中標示紅色線處）機率的上界，其上界包括了特定數值<math>\epsilon</math>及<math>f</math>的平均值]]

在[[概率论]]中，'''马尔可夫不等式'''（{{lang-en|Markov's inequality}}）给出了[[随机变量]]的函数大于等于某正数的概率的上界。虽然它以俄国数学家[[安德雷·马尔可夫]]命名，但该不等式曾出现在一些更早的文献中，其中包括马尔可夫的老师——[[巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫|切比雪夫]]。

马尔可夫不等式把概率关联到[[数学期望]]，给出了随机变量的[[累积分布函数]]一个宽泛但仍有用的界。

马尔可夫不等式的一个应用是，不超过1/5的人口会有超过5倍于人均收入的收入。

== 表达式 ==
X为一非负随机变量，则

:<math>\mathrm{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathrm{E}(X)}{a}.</math><ref>{{cite book|author=Sheldon M Ross|title=Introduction to probability and statistics for engineers and scientists|year=2009|publisher=Academic Press|isbn=9780123704832|pages=第127頁}}</ref>

若用[[測度]]領域的術語來表示，馬爾可夫不等式可表示為若(''X'',&nbsp;Σ,&nbsp;''μ'')是一個測度空間，''ƒ''為[[可测函数|可测]]的[[扩展的实数轴|扩展实数]]的函數，且<math>\epsilon\ge0</math>，則

:<math> \mu(\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \}) \leq {1\over \varepsilon}\int_X |f|\,d\mu.</math>

有時上述的不等式會被稱為[[切比雪夫不等式]]<ref>E.M. Stein, R. Shakarchi, "Real Analysis, Measure Theory, Integration, & Hilbert Spaces", vol. 3, 1st ed., 2005, p.91</ref>。
===对于单调增加函数的扩展版本===
若{{mvar|&phi;}}是定义在非负实数上的单调增加函数，且其值非负，{{mvar|X}}是一个随机变量，{{math|''a'' &ge; 0}}，且{{math|''&phi;''(''a'') > 0}}，则
:<math>\mathbb P (|X| \ge a) \le \frac{\mathbb E(\varphi(|X|))}{\varphi(a)}</math>

==证明==
:<math>\begin{align}
\textrm{E}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx \\
&= \int_{0}^{\infty}x f(x) dx \\[6pt]
&\geqslant \int_{a}^{\infty}x f(x) dx \\[6pt]
&\geqslant \int_{a}^{\infty}a f(x) dx \\[6pt]
&= a\int_{a}^{\infty} f(x) dx \\[6pt]
&=a\textrm{P}(X\geqslant a).
\end{align}</math>

==用來推导柴比雪夫不等式==

[[切比雪夫不等式]]使用變異數來作為一隨機變數超過平均值機率的上限，可以用下式表示：

:<math>\Pr(|X-\textrm{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2},</math>

對任意''a>0''，Var(X)為X的變異數，定義如下：

:<math> \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}(X) )^2]. </math>

若以马尔可夫不等式為基礎，切比雪夫不等式可視為考慮以下隨機變量

: <math> (X - \operatorname{E}(X))^2 </math>

根據马尔可夫不等式，可得到以下的結果

: <math> \Pr( (X - \operatorname{E}(X))^2 \ge a^2) \le \frac{\operatorname{Var}(X)}{a^2}, </math>

==矩陣形式的馬可夫不等式==
令<math> M \succeq 0 </math>為自共軛矩陣形式的隨機變數，且<math> a>0 </math>，則
:<math>
\Pr (M \npreceq a \cdot I) \leq \frac{\mathrm{tr}\left( E(M) \right)}{a}.
</math>

==應用實例==
* 馬爾可夫不等式可用來證明[[切比雪夫不等式]]。
* 馬爾可夫不等式可用來證明一個非負的隨機變數，其平均值<math>\mu</math>和中位數<math>m</math>滿足<math>m \le 2 \mu</math>的關係。

== 参见 ==
*[[切比雪夫不等式]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:概率论]]
[[Category:概率不等式]]