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{{noteTA|G1=物理學|T=zh-cn:麦克斯韦应力张量;zh-hk:麥克斯韋應力張量;zh-tw:馬克士威應力張量;}}
{{向量字體常規}}
[[File:James Clerk Maxwell.png|right|thumb|200px|詹姆斯·馬克士威]]
在[[電磁學]]裏，'''馬克士威應力張量'''(Maxwell stress tensor)是描述[[電磁場]]帶有之[[應力]]的二階[[張量]]。馬克士威應力張量可以表現出[[電場力]]、[[磁場力]]和機械[[動量]]之間的相互作用。對於簡單的狀況，例如一個[[點電荷]]自由地移動於均勻[[磁場]]，應用[[勞侖茲力定律]]，就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是，當遇到稍微複雜一點的狀況時，這很普通的程序會變得非常困難，方程式洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此，物理學家通常會聚集很多項目於馬克士威應力張量內，然後使用張量數學來解析問題。

==導引==
為了方便參考，先列出[[馬克士威方程組]]：
{| class="wikitable"
|+馬克士威方程組（[[國際單位制]]）
|-
! 名稱
! 微分形式
|-
| [[高斯定律]]
| <math>\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>     
|-
| [[高斯磁定律]]
| <math>\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} = 0</math>    
|-
| [[法拉第感應定律]]
| <math>\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>     
|-
| [[馬克士威-安培定律]]
| <math>\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> 
|}

其中，<math>\mathbf{E}</math> 是[[電場]]，<math>\mathbf{B}</math> 是[[磁場]]，<math>\rho</math> 是[[電荷密度]]，<math>\mathbf{J}</math>是[[電流密度]]，<math>\varepsilon_0</math> 是[[電常數]]，<math>\mu_0</math> 是[[磁常數]]。

從勞侖茲力定律開始，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 <math>\mathbf{f}</math> 是
:<math>\mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}</math> 。

應用高斯定律和馬克士威-安培定律，把電荷密度和電流密度替換掉，只讓電場和磁場出現於方程式：
:<math>\mathbf{f} = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B}</math> 。

應用[[乘積法則]]和法拉第感應定律：
:<math>\frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E}\times\mathbf{B}) = \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times \mathbf{B} + \mathbf{E} \times \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times \mathbf{B} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E})</math> ，

稍加編排，將 <math>\mathbf{f}</math> 寫為
:<math>\begin{align}\mathbf{f} &  = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right) - \epsilon_0 \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \\
 & = \epsilon_0\left[  (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \right] +   \frac{1}{\mu_0} \left[  -   \mathbf{B}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right)  \right]
 - \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right) \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

為了使 <math>\mathbf{E}</math> 的項目 <math>\mathbf{B}</math> 的項目能夠相互對稱，加入一個 <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> 項目： 
:<math>\mathbf{f}= \epsilon_0\left[  (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \right] +   \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B})\mathbf{B}  -   \mathbf{B}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right)  \right]
 -  \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)</math> 。

應用[[向量恆等式]]，對於任意向量 <math>\mathbf{A}</math> 
:<math>\mathbf{A} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=\tfrac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} A^2  - (\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A} </math>，

將 <math>\mathbf{f}</math> 的方程式內的[[旋度]]項目除去：
:<math>\mathbf{f} = \epsilon_0\left[  (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E} \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} )\mathbf{B} + (\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} \right] - \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right)
 -  \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)</math> 。

這方程式最右邊項目涉及了[[坡印廷向量]] <math>\mathbf{S}</math> ：
:<math>\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}</math> 。

設定馬克士威應力張量 <math> \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}</math> （以英文字母上面加兩隻箭矢符號來標記二階張量）：
:<math>T_{ij} \equiv \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right) + \frac{1}{\mu_0}  \left(B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2\right)</math> ；

其中，<math>\delta_{ij}</math> 是[[克羅內克函數]]。

定義一個向量 <math>\mathbf{A}</math> 與馬克士威應力張量 <math> \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}</math> 的[[內積]]為
:<math>(\mathbf{A}\cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}})_j=\textstyle{\sum_i}\ A_i T_{ij}</math> 。

那麼，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 <math>\mathbf{f}</math> 是
:<math>\mathbf{f} = \nabla \cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}} - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}</math> 。

==馬克士威應力張量的性質==
馬克士威應力張量是一個[[對稱性|對稱]]張量，表達為
:<math>T_{ij} = \left( \begin{matrix}
\epsilon_0(E_x^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x^2 - B^2 /2)   &  \epsilon_0 E_x E_y +\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_y) & \epsilon_0 E_x E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_z)  \\
\epsilon_0 E_x E_y+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_y) & \epsilon_0(E_y^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_y^2 - B^2 /2) & \epsilon_0 E_y E_z +\cfrac{1}{\mu_0}(B_y B_z)  \\
\epsilon_0 E_x E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_z)  & \epsilon_0 E_y E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_y B_z) & \epsilon_0(E_z^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_z^2 - B^2 /2)  
\end{matrix} \right)</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

馬克士威應力張量的單位是[[牛頓]]／[[公尺]]<sup>2</sup>。馬克士威應力張量的 ij 元素詮釋為，朝著 i-軸方向，施加於 j-軸的垂直平面，單位面積的作用力；對角元素代表負[[壓力]]，非對角元素代表[[剪應力]]。對角元素給出[[張力]]（拖拉力）作用於其對應軸的垂直面微分元素。不同於[[理想氣體]]因為[[壓力]]而施加的作用力，在電磁場內的一個面元素也會感受到方向不垂直於其面的剪應力。這是由非對角元素給出的。

==動量守恆定律==
在一個體積 <math>\mathcal{V}</math> 內的電荷，所感受到的總作用力 <math>\mathbf{F}</math> 是
:<math>\mathbf{F}=\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{f}\mathrm{d}\tau=\int_{\mathcal{V}}\ \nabla \cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\mathrm{d}\tau - \epsilon_0 \mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau</math> 。

應用[[散度定理]]，可以得到
:<math>\mathbf{F}=\oint_{\mathcal{S}}\  \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} - \epsilon_0 \mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau</math> ；

其中，<math>\mathcal{S}</math> 是體積 <math>\mathcal{V}</math> 的閉合表面。

根據[[牛頓第二定律]]，
:<math>\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</math> ；

其中，<math>\mathbf{p}</math> 是動量。

所以，電荷的動量 <math>\mathbf{p}_{charge}</math> 可以表達為
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_{charge}}{\mathrm{d}t}=\oint_{\mathcal{S}}\  \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} - \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_{em}}{\mathrm{d}t}</math>；

其中，<math>\mathbf{p}_{em}=\epsilon_0 \mu_0\oint_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau</math> 是儲存於電磁場的動量（坡印廷向量 <math>\mathbf{S}</math> 是由電場和磁場組成的一個複合向量）。

稍加編排，可以得到[[動量守恆定律]]的積分方程式：
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{p}_{charge}+\mathbf{p}_{em})=\oint_{\mathcal{S}}\  \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}</math> 。

動量守恆定律闡明，一個體積的總動量（電荷的動量加上電磁場的動量）的增加速率等於每秒鐘'''流入'''閉合表面的動量。負的馬克士威應力張量 <math>  - </math><math> \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}</math> 是一個動量通量密度。

動量守恆定律也能以微分形式表達為
:<math>\frac{\partial}{\partial t}(\mathfrak{p}_{charge} +\mathfrak{p}_{em})=\nabla\cdot\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}</math> ；

其中，<math>\mathfrak{p}_{charge}</math> 是電荷的動量密度，<math>\mathfrak{p}_{em}</math> 是電磁場的動量密度。

== 相關條目 ==
*[[能量密度|電磁能量密度]]
*[[坡印廷向量]]
*[[電磁應力-能量張量]]
*[[電磁場的數學表述]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
*{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 351-356 |isbn=0-13-805326-X}} 
*{{Cite journal
 |last    = Jefimenko
 |first   = Oleg
 |title   = Correct Use of Maxwell Stress Equations for Electric and magnetic Fields
 |journal = American Journal of Physics
 |volume  = 51
 |issue   = 11
 |pages   = pp. 988-996
 |date    = Nov 1983
 |url     = http://ajp.aapt.org/resource/1/ajpias/v51/i11/p988_s1?isAuthorized=no
}}{{dead link|date=2018年5月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

{{电磁学}}
[[Category:電磁學|M]]
[[Category:张量|M]]
[[Category:詹姆斯·克拉克·馬克士威|M]]