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在[[數學]]的[[集合論]]中，'''馬丁公理'''（Martin's axiom）是一個由{{link-en|唐纳德·A·馬丁|Donald A. Martin}}和{{link-en|羅伯特·M·梭羅維|Robert M. Solovay}}引進的{{r|MartinSolovay1970}}公理，這公理獨立於慣常的、帶有[[選擇公理]]的[[策梅洛-弗蘭克爾集合論]]（ZFC）。這公理在[[連續統假設]]成立的狀況下成立，但也與否定連續統假設的ZFC公理系統相容。

用較不正式的講法，馬丁公理講的是任何小於[[連續統]]<math>\mathfrak c</math>的基數，其行為會與<math>\aleph_0</math>大體類似。這公理背後的想法可藉由研究[[羅修娃－西葛斯基引理]]的證明得知；而這是用以控制特定[[力迫]]論證的其中一個原則。

==陳述==
給定任意的基數<math>\kappa</math>，我們可以定義一個如下的陳述，並將這陳述給記做<math>\operatorname{MA}(\kappa)</math>：

<blockquote>對於任意滿足[[可數鏈條件]]的[[偏序]]<math>P</math>及任意<math>P</math>的稠密集的集族<math>D</math>而言，若<math>D \le \kappa</math>，則存在一個<math>P</math>上的[[濾子 (數學)|濾子]]<math>F</math>，使得對於任意的<math>d \in D</math>而言，<math>F \cap d</math>非空。</blockquote>

由於這是一個使得<math display=inline> \operatorname{MA}(\mathfrak c)</math>不成立的ZFC定理之故，因此馬丁公理可表述如下：

<blockquote>'''馬丁公理（MA）：'''對於任意的<math>\kappa < \mathfrak c</math>，<math>\operatorname{MA}(\kappa)</math>成立</blockquote>

在這情況（應用可數鏈條件）下，一個反鏈<math>A</math>是<math>P</math>的子集，且這子集使得<math>A</math>的任意兩個元素不兼容（若在偏序中存在一個低於兩者的共通元素，則說兩個元素是兼容的），而這與[[樹 (集合論)|樹]]等情況下的反鏈是不同的。

<math display=inline> \operatorname{MA}(\aleph_0)</math>為真，而這即是[[羅修娃－西葛斯基引理]]。

<math display=inline> \operatorname{MA}(2^{\aleph_0})</math>為假：<math>\left[0,1\right]</math>是一個[[緊緻]][[豪斯多夫空間]]，因此是個[[可分空間]]並滿足可數鏈條件。這集合沒有[[孤立點]]，因此其中的點是[[無處稠密]]的；但這集合是<math>2^{\aleph_0}=\mathfrak c</math>這麼多的點的聯集。（也可參見下述的與<math>\operatorname{MA}(\mathfrak c)</math>等價的條件）

==與<math>\operatorname{MA}(\kappa)</math>等價的陳述==
以下陳述與<math>\operatorname{MA}(\kappa)</math>等價：
* 若<math>X</math>是一個滿足[[可數鏈條件]]的緊緻[[豪斯多夫空間]]，那<math>X</math>不會是<math>\kappa</math>個或更少的[[無處稠密集]]的聯集。
* 若<math>P</math>是一個上升的、滿足[[可數鏈條件]]的[[偏序集]]，而<math>Y</math>是<math>P</math>的餘有限子集的集族，且<math>\left\vert Y \right\vert \le \kappa</math>，則存在一個向上的集合<math>A</math>使得<math>A</math>會見所有<math>Y</math>的元素。
* 若<math>A</math>是一個滿足可數鏈條件的非零[[布爾代數]]而<math>F</math>是<math>A</math>的子集的集族，且<math>\left\vert F \right\vert \le \kappa</math>，那就存在一個布爾同態<math>\Phi : A \rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>，使得對於任意<math>F</math>中的<math>X</math>而言，要不有一個<math>a \in X</math>，使得<math>\Phi(a) = 1</math>，要不有個<math>X</math>有個上界<math>b</math>，使得<math>\Phi(b) = 0</math>

==結果==
馬丁公理在[[組合數學]]、[[數學分析]]跟[[拓樸學]]上有許多有其他有趣的結果：

* 在{{link-en|波蘭空間|Polish space}}上的無原子σ-有限[[博雷爾測度]]中，<math>\kappa</math>個或更少的[[零測集]]依舊是零測集；不僅如此，實數集的<math>\kappa</math>個或更少的[[勒貝格測度]]為零的子集的聯集，其勒貝格測度為零。
* 對於一個緊緻豪斯多夫空間<math>X</math>而言，若<math>\left\vert X \right\vert \le 2^{\kappa}</math>，則這空間是[[序列緊緻]]的，也就是說這空間中的每個序列都有一個收斂子序列。
* 在<math>\mathbb{N}</math>上，沒有任何非主要的[[超濾子]]的基本基數會小於<math>\kappa</math>。
* 等價地，對於任意的<math>x \in \beta\mathbb{N} \ \mathbb{N}</math>，有<math>\chi(x) \ge \kappa</math>，此處的<math>\chi</math>是<math>x</math>的{{link-en|基數函數|Cardinal function|特徵}}，因此<math>\chi(\beta\mathbb{N}) \ge \kappa</math>。
* <math display=inline> \operatorname{MA}(\aleph_1)</math>蘊含說滿足可數鏈條件的拓樸空間的乘積依舊滿足可數鏈條件，而這結果又蘊含說{{link-en|蘇斯林線|Suslin line}}不存在。
* 若馬丁公理成立，而連續統假設不成立，那就表示存在有非自由的懷特海群（Whitehead group）；{{link-en|夏隆·細拉|Saharon Shelah|細拉}}用這結果證明說懷特海問題獨立於ZFC。

==後續發展==
*馬丁公理的一般化版本為{{link-en|真力迫公理|proper forcing axiom}}以及{{link-en|馬丁最大值|Martin's maximum}}。
*謝爾頓·W·戴維斯（Sheldon W. Davis）在他的說中提出馬丁公理是受到[[貝爾綱定理]]的啟發而來的。{{r|Davis2005_29}}

==參考資料==
{{reflist|refs=
<ref name=MartinSolovay1970>{{cite journal |last1=Martin |first1=Donald A. |author1-link=Donald A. Martin |last2=Solovay |first2=Robert M. |author2-link=Robert M. Solovay |date= 1970 |title=Internal Cohen extensions |journal=Ann. Math. Logic |volume=2 |issue=2 |pages=143–178 |doi=10.1016/0003-4843(70)90009-4 |doi-access=free |mr=0270904}}</ref>

<ref name=Davis2005_29>{{cite book |last=Davis |first=Sheldon W. |date=2005 |title=Topology |publisher=McGraw Hill |page=29 |isbn=0-07-291006-2 }}</ref>
}}
==延伸閱讀==
* {{cite book | last=Fremlin | first=David H. | title=Consequences of Martin's axiom | publisher=[[Cambridge University Press]]| location=Cambridge | date=1984 | isbn=0-521-25091-9 | others=Cambridge tracts in mathematics, no. 84}}
* [[Thomas Jech|Jech, Thomas]], 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''.  Springer.  {{isbn|3-540-44085-2}}.
* [[Kenneth Kunen|Kunen, Kenneth]], 1980. ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier.  {{isbn|0-444-86839-9}}.

{{集合論}}

[[Category:集合論公理]]
[[Category:獨立結果]]