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{{NoteTA
|zh-cn:上同调;zh-tw:餘調;
|zh-cn:上链;zh-tw:餘鏈;
|zh-cn:拓扑;zh-tw:拓樸;
|zh-cn:上积;zh-tw:杯積;
}}

在[[同调论|同調論]]與[[代数拓扑|代數餘鏈]]中，'''餘調'''表示由與[[拓扑空间|拓樸空間]]相關的[[阿贝尔群|阿貝爾群]]組成的序列，經常由[[链复形|餘鏈復形]]定義。餘調可以被視為給予空間（比同調）更豐富的代數不變量的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之，餘鏈是同調論中鏈群上的函數。
這個概念一開始是在[[拓撲學]]中，到20世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法，現今同調與餘調理論的應用已遍布幾何與代數。餘調是個[[函子#協變與反變|反變]]的理論，而在很多應用中比同調更自然，但術語使上述事實變得不明顯。基礎地看，這與幾何的情況中的函數與[[拉回 (微分幾何)|拉回]]有關：給定空間 X、Y 、 Y 上的某種函數 F ，對任何[[映射]] f : X → Y  ，與 f 的複合會產生在 X 上的函數 F ∘ f 。最重要的一些餘調論有一種積，稱為[[杯積]]，使其具有[[環 (代數)|環]]的結構。所以，餘調常是比同調更強的不變量。

广义上的同调理论（其他代数或几何结构的不变式，而不是拓扑空间的不变式）包括：代数K理论，李代数同调，晶体同调等。

==奇异上同调==
'''奇异上同调'''是拓扑学中一个强大的不变量，将[[分次交换环]]同任意拓扑空间联系起来。每个[[连续函数|连续映射]]<math>f:\ X\to Y</math>都决定了从''Y''的上同调环到''X''的上同调环的[[环同态|同态]]，这对''X''到''Y''的可能映射施加了强有力的限制。上同调环不同于[[同伦群]]等更微妙的不变式，对于感兴趣的空间来说，实际上往往是可以计算的。

对拓扑空间''X''，奇异上同调的定义始于奇异链复形：{{sfn|Hatcher|2001}}{{rp|108}}
<math display="block">\cdots \to C_{i+1}\stackrel{\partial_{i+1}}{\to} C_i \stackrel{ \partial_i}{\to}\ C_{i-1} \to \cdots </math>
由定义，''X''的[[奇异同调]]是这链复形的同调（一个同态的核对前一个的像取模）。更详细地说，<math>C_i</math>是从标准''i''单纯形到''X''（称作“''X''中的奇异''i''单形（simplice）”）的连续映射集的[[自由阿贝尔群]]；<math>\partial_i</math>是第''i''个边界同态。''i''为负数时，群<math>C_i</math>为零。

现固定一个阿贝尔群''A''，把每个群''C<sub>i</sub>''换成其[[对偶空间|对偶群]]<math>C_i^* := \mathrm{Hom}(C_i,A),</math>；把<math>\partial_i</math>换成对偶同态
<math display="block">d_{i-1}: C_{i-1}^* \to C_{i}^*.</math>

这会把原复形的“所有箭头都逆转”，留下上链复形
<math display="block">\cdots \leftarrow C_{i+1}^* \stackrel{d_i}{\leftarrow}\ C_{i}^* \stackrel{d_{i-1}}{\leftarrow} C_{i-1}^* \leftarrow \cdots </math>

对任意整数''i''，''X''的第''i''个系数在''A''中的'''上同调群'''定义为<math>{\rm ker}(d_i)/{\rm im}(d_{i-1}),</math>记作<math>H^i(X,\ A).</math>''i''为负数时，群为零。<math>C_i^*</math>的元素称作'''奇异''i''上链'''，系数在''A''中。（等价地，''X''上的''i''上链可从''X''中到''A''的奇异''i''单形集函数中辨别出来）ker(''d'')、im(''d'')中的元素分别称作'''上循环'''和'''上边界'''（coboundary），<math>{\rm ker}(d)/{\rm im}(d)=H^i(X,\ A)</math>的元素则称作'''上同调类'''（因为是上循环的[[等价类]]）。

下文时而省略系数群''A''不写。通常取''A''为[[交换环]]''R''，则上同调群为''R''[[模]]。标准的选择是整数环'''Z'''。

上同调的一些形式性质与同调基本一致：

* 连续映射<math>f: X \to Y</math>决定了同调上的'''前推'''同态<math>f_*:H_i(X) \to H_i(Y)</math>与上同调上的'''拉回'''同态<math>f^*: H^i(Y) \to H^i(X)</math>，这使上同调成为从拓扑空间到阿贝尔群（或''R''模）的反变[[函子]]。
* ''X''到''Y''的两个[[同伦]]映射会在上同调引起相同的同态（如在同调上）。
* [[迈尔–维托里斯正合列]]是同调与上同调中重要的计算工具。注意边界同态增加（而非减少）了上同调的度；即，若空间''X''是[[开子集]]''U''与''V''的交，则有长[[正合序列]]：<math display="block">\cdots \to H^i(X) \to H^i(U)\oplus H^i(V) \to H^i(U\cap V) \to H^{i+1}(X) \to \cdots</math>
* 对空间''X''的任意[[子空间拓扑|子空间]]''Y''，有[[相关同调|相关上同调]]群<math>H^i(X,Y;A).</math>由长正合序列与通常的上同调群相关联：<math display="block">\cdots \to H^i(X,Y) \to H^i(X) \to H^i(Y) \to H^{i+1}(X,Y) \to \cdots</math>
* [[泛系数定理]]用[[Ext函子|Ext群]]描述了上同调，即有短[[正合序列]]<math display="block"> 0 \to \operatorname{Ext}_{\Z}^1(\operatorname{H}_{i-1}(X, \Z), A) \to H^i(X, A) \to \operatorname{Hom}_{\Z}(H_i(X,\Z), A)\to 0.</math>相关的说法是，对[[域 (数学)|域]]''F''，<math>H^i(X,F)</math>正是[[向量空间]]<math>H_i(X,F)</math>的[[对偶空间]]。
* 若''X''是拓扑[[流形]]或[[CW复形]]，则对大于''X''的维度的''i''，上同调群<math>H^i(X,A)</math>为零。{{sfnm|1a1=Hatcher|1y=2001|2a1=Dold|2y=1972|1loc=Theorem 3.5|2loc=Proposition VIII.3.3 and Corollary VIII.3.4}}若''X''是[[紧空间|紧]]流形（可能有界），或是在每个维度都有有限多单元的CW复形，且''R''是交换[[诺特环]]，则''R''模<math>H^i(X,\ R)</math>对每个''i''都是[[有限生成模]]。{{sfn|Dold|1972|loc=Propositions IV.8.12 and V.4.11}}

另一方面，上同调有同调没有的重要结构：对任意拓扑空间''X''与交换环''R''，有称作'''[[上积]]'''的[[双线性映射]]：
<math display="block">H^i(X,R)\times H^j(X,R) \to H^{i+j}(X,R),</math>
从奇异上链的明确公式定义。上同调类''u''与''v''的积写作''u'' ∪ ''v''或只是''uv''，这个积使得[[直和]]
<math display="block">H^*(X,R)=\bigoplus_i H^i(X,R)</math>
变为[[分次环]]，称作''X''的'''[[上同调环]]'''，在如下意义上是[[分次交换环]]：{{sfn|Hatcher|2001|loc=Theorem 3.11}}
<math display="block">uv=(-1)^{ij}vu, \qquad u \in H^i(X,R), v \in H^j(X,R).</math>

对任意连续映射<math>f\colon X\to Y,</math>，[[拉回 (上同调)|拉回]]<math>f^*: H^*(Y,R) \to H^*(X, R)</math>是分次''R''[[结合代数|代数]]的同态。可见，若两空间[[同倫#空間的同倫等價|同伦等价]]，则它们的上同调环就同构。

下面是上积的一些几何解释。除非另有说明，否则默认流形无界。'''闭流形'''是（不含边界）紧流形，而流形''M''的'''闭子流形'''''N''是''M''的[[闭子集]]的子流形，不必是紧流形（不过，若''M''紧，则''N''必紧）。

* 令''X''为''n''维闭有向流形，则[[庞加莱对偶性]]给出同构<math>H^iX\cong H_{n-i}X</math>。于是，''X''中[[余维度]]为''i''的闭有向子流形决定了<math>H^iX</math>中的上同调类，称作<math>[S].</math>在这些术语中，上积描述了子流形的相交：若''S''、''T''是余维度为''i''、''j''的子流形，并[[横截性|横截地]]相交，则<math display="block">[S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),</math>当中的交''S'' ∩ ''T''是余维度为''i''+''j''的子流形，方向由''S''、''T''、''X''的方向确定。在光滑流形的情形下，若''S''、''T''不横截着相交，则这公式仍可计算上积<math>[S][T]</math>，方法是扰动''S''或''T''使其横截相交。{{pb}}更一般地，''X''不需有向，其闭子流形与[[法丛]]上的方向决定了''X''上的一个上同调类。若''X''是非紧流形，则闭子流形（不需是紧的）决定了''X''上的上同调类。两种情形下，上积仍可用子流形之交来描述。{{pb}}注意[[勒内·托姆]]在光滑14维流形上构造了度为7的积分上同调类，不是任何光滑子流形的类。{{sfn|Thom|1954}}{{rp|62–63}}另一方面，他证明了光滑流形上所有度为正的积分上同调类都有正倍数，其是光滑子流形的类。{{sfn|Thom|1954}}{{rp|定理II.29}}而且，流形上的所有积分上同调类都可用“伪流形”（即单纯形，在余维度至少为2的闭子集之外是流形）表示。
* 对光滑流形''X''，[[德拉姆上同调|德拉姆定理]]表明，具有[[实数|实]]系数的''X''的奇异上同调与''X''的德拉姆上同调同构，由[[微分形式]]定义。上积对应微分形式的积。这解释的优点在于微分形式的积是分次交换的，而奇异上链的积只在链同伦意义上分次交换。事实上，对系数在整数<math>\Z</math>或<math>\Z/p</math>（''p''为使积在鼻上分次交换的素数）中的奇异上链，无法修改其定义。上链层面上分次交换性失效，导致了模''p''上同调上的[[斯廷罗德代数|斯廷罗德运算]]。
非常不正式地说，对任意拓扑空间''X''，<math>H^i(X)</math>的元素都可认为是可在''X''上自由移动的余维度为''i''的子空间。举例来说，定义元素的一种方法是给出从''X''到流形''M''的连续映射''f''，以及''M''的余维度为''i''的闭子流形''N''，且在法丛上有向。形式上说，可将结果类<math>f^*([N]) \in H^i(X)</math>视为位于''X''的子空间<math>f^{-1}(N)</math>上；这是合理的，因为类<math>f^*([N])</math>在开子集<math>X-f^{-1}(N)</math>的上同调中限制为零。上同调类<math>f^*([N])</math>可在''X''上自由移动，即''N''可被''M''内''N''的任意连续变形所代替。
==例子==
下面默认上同调系数为整数。
*点的上同调环是度为0的环'''Z'''。根据同伦不变性，这也是任何[[可紧空间]]的上同调环，如欧氏空间'''R'''<sup>''n''</sup>。
*[[File:torus cycles.svg|thumb|right|2维环面的第一上同调群的基由所示两个圆的类给出。]]对正整数''n''，[[N维球面]]<math>S^n</math>的上同调环是<math>\mathbb{Z}[x]/(x^2)</math>（[[多项式环]]对给定[[理想 (环论)|理想]]的[[商环]]），''x''的度为''n''。根据上述庞加莱对偶性，''x''是球面上一点的类。
*[[环面]]<math>(S^1)^n</math>的上同调环是度为1的''n''个生成器上的'''Z'''的[[外代数]]。{{sfn|Hatcher|2001|loc=Example 3.16}}例如，令''P''表示圆<math>S^1</math>中的点，''Q''为2维环面<math>(S^1)^2</math>中的点(''P'',''P'')。则，<math>(S^1)^2</math>的上同调有如下形式的[[自由模|自由'''Z'''模]]基：度为0的元素1、度为1的<math>x\mathrel{\mathop:}=[P\times S^1]</math>及<math>y\mathrel{\mathop:}=[S^1\times P]</math>、度为2的<math>xy=[Q].</math>（此处隐含地固定了环面和两个圆的方向）注意由分次交换性可知，<math>yx=-xy=-[Q].</math>
*更一般地，令''R''为交换环、令''X''与''Y''为使<math>H^*(X,\ R)</math>为所有度都是有限生成自由''R''模的任意拓扑空间（''Y''不需要假设）。则据[[克奈定理]]，[[积空间]]<math>X\times Y</math>的上同调环是''R''代数的张量积：{{sfn|Hatcher|2001}}{{rp|定理3.15}} <math display="block">H^*(X\times Y,R)\cong H^*(X,R)\otimes_R H^*(Y,R).</math>
* [[实射影空间]]<math>\mathbb{RP}^n</math>的上同调环（系数位于<math>\mathbb{Z}/2</math>）是<math>\mathbb{Z}/2[x]/(x^{n+1})</math>，''x''的度为1。{{sfn|Hatcher|2001}}{{rp|定理3.19}}当中''x''是<math>\mathbb{RP}^n</math>中的[[超平面]]<math>\mathbb{RP}^{n-1}</math>的类，即使<math>\mathbb{RP}^j</math>（''j''为正偶数）无向也成立，因为<math>\mathbb{Z}/2</math>系数的庞加莱对偶性适于任意流形。{{pb}}若系数是整数，就比较复杂了。<math>\mathbb{RP}^{2a}</math>的'''Z'''上同调具有度为2的元素''y''，使整个上同调是度为0的元素1张成的'''Z'''与<math>y^i\ (i=1,\ \ldots,\ a)</math>张成的'''Z'''/2的直和。<math>\mathbb{RP}^{2a+1}</math>的'''Z'''上同调也如此，只是多了一份度为2a+1的'''Z'''。{{sfn|Hatcher|2001}}{{rp|22}}

*[[复射影空间]]<math>\mathbb{CP}^n</math>的上同调环是<math>\mathbb{Z}[x]/(x^{m+1})</math>，其中''x''的度为2。{{sfn|Hatcher|2001}}{{rp|定理3.19}}''x''是<math>\mathbb{CP}^n</math>中超平面<math>\mathbb{CP}^{n-1}</math>的类；更一般地说，<math>x^j</math>是<math>\mathbb{CP}^n</math>中线性子空间<math>\mathbb{CP}^{n-j}</math>的类。
*[[亏格]]''g'' ≥ 0的闭有向面''X''的上同调环有如下形式的自由'''Z'''模的基：度为0的元素1、度为1的<math>A_1,\ \ldots,\ A_g</math>及<math>B_1,\ \ldots,\ B_g</math>、度为2的点的类''P''。积由下面的定义给出：<math>A_iA_j=B_iB_j= 0,\ \forall i,\ j;\quad A_iB_j=0\ (i\ne j);\quad A_iB_j=0\ (i\ne j),\ A_iB_i=P,\ \forall i.</math>{{sfn|Hatcher|2001|loc=Example 3.7}}由分次交换性，可知有{{math|1=''B''<sub>''i''</sub>''A''<sub>''i''</sub> = −''P''}}
*在任意拓扑空间上，上同调环的分次交换性都表明，对任意度为奇的上同调类''x''都有<math>2x^2=0.</math>因此，对包含1/2的环''R''，<math>H^*(X,\ R)</math>中所有度为奇的元素的平方都是零。另一方面，若''R''是<math>\mathbb{Z}/2</math>或<math>\mathbb{Z}</math>，则度为奇的元素不必有平方零，正如例子<math>\mathbb{RP}^2</math>（系数<math>\mathbb{Z}/2</math>）或<math>\mathbb{RP}^4\times\mathbb{RP}^2</math>（系数<math>\mathbb{Z}</math>）。

==对角==
上积可视作来自对角映射<math>\Delta:\ X\to X\times X,\ x\mapsto(x,\ x).</math>也就是说，对于具有上同调类<math>u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(Y,\ R)</math>的任意空间''X''、''Y''，有'''外积'''（或'''叉积'''）上同调类<math>u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,\ R).</math>类<math>u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(X,\ R)</math>的上积可定义为外积的对角线拉回：{{sfn|Hatcher|2001}}{{rp|186}}
<math display="block">uv=\Delta^*(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).</math>

另外，外积也可用上积定义。对空间''X''、''Y''，将两投影分别写作<math>f:\ X\times Y\to X,\ g:\ X\times Y\to Y</math>，则<math>u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(Y,\ R)</math>两类的外积就是
<math display="block">u\times v=(f^*(u))(g^*(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).</math>

==庞加莱对偶性==
{{Main|庞加莱对偶性}}
庞加莱对偶性的另一种解释是，闭有向流形的上同调环在强意义上是自对偶的。也就是说，令''X''为''n''维闭[[紧空间|紧]]有向流形，''F''为域。则<math>H^n(X,\ F)</math>同构于''F''，积
:<math>H^i(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^n(X,F)\cong F</math>
对每个整数''i''是[[雙線性形式#不同空間的推廣|完美配对]]。{{sfn|Hatcher|2001|loc=Proposition 3.38}}特别地，向量空间<math>H^i(X,\ F),\ H^{n-i}(X,\ F)</math>具有相同的（有限）维度。同样，积分上同调模[[挠子群|挠]]、在<math>H^n(X,\ \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}</math>中取值的积是'''Z'''上的完美配对。

==示性类==
{{Main|示性类}}
拓扑空间''X''上秩为''r''的有向实[[向量丛]]''E''决定了''X''上的上同调类，即'''[[欧拉类]]'''<math>\xi(E)\in H^r(X,\ \mathbb{Z})</math>χ。非正式地说，欧拉类是''E''的一般[[截面 (纤维从)|截面]]的零集类。''E''若是光滑流形''X''上的光滑向量丛''E''，这种解释会更明确，因为此时''X''的一般光滑截面会在''X''的''r''余维子流形上归于零。

在上同调取值的向量丛还有其他几种[[示性类]]，如[[陈类]]、[[施蒂费尔–惠特尼类]]、[[庞特里亚金类]]等。

==艾伦伯格–麦克兰恩空间==
{{Main|艾伦伯格–麦克兰恩空间}}
对任意阿贝尔群''A''与自然数''j''，有空间<math>K(A,j)</math>，其第j个同伦群同构于''A''，其他同伦群均为零。这样的空间叫做'''艾伦伯格–麦克兰恩空间'''，对上同调是'''分类空间'''：有<math>H^j(K(A,j),A)</math>的自然元素''u''，每个空间''X''上每个度为''j''的上同调类都是''u''对某连续映射<math>X\to K(A,j)</math>的拉回。更确切地说，类''u''的拉回对每个具有CW复形上同调类型的空间''X''给出了双射{{sfn|May|1999}}{{rp|177}}
:<math>[X, K(A,j)] \stackrel{\cong}{\to} H^j(X,A)</math>
当中<math>[X,Y]</math>表示''X''到''Y''的连续映射的同伦类集合。

例如，空间<math>K(\Z,1)</math>（同伦等价意义上）可看作是圆<math>S^1</math>，所以上面的描述说，<math>H^1(X,\Z)</math>的每个元素都是通过某映射<math>X\to S^1</math>从<math>S^1</math>是哪个一点的类''u''拉回的。

对系数在任意阿贝尔群''A''（如CW复形''X''）中的第一上同调，都有相关的描述：<math>H^1(X,A)</math>与具有群''A''的''X''的伽罗瓦[[覆叠空间]]的同构类集（也称为''X''上的[[主丛|主''A''丛]]）一一对应。对连通的''X''，<math>H^1(X,A)</math>同构于<math>\operatorname{Hom}(\pi_1(X),A)</math>，曲线<math>\pi_1(X)</math>是''X''的[[基本群]]。例如，<math>H^1(X,\Z/2)</math>分类了''X''的双覆叠空间，元素<math>0\in H^1(X,\Z/2)</math>对应平凡双覆叠，即两个''X''的不交并。

==下积==
{{Main|下积}}
对任意拓扑空间''X''、任意整数''i''、''j''、任意交换环''R''，'''下积'''是双线性映射
:<math>\cap: H^i(X,R)\times H_j(X,R) \to H_{j-i}(X,R)</math>
得到映射
:<math>H^*(X,R)\times H_*(X,R) \to H_*(X,R)</math>
使''X''的奇异上同调成为''X''的奇异上同调环上的模。

<math>i=j</math>时，下积给出了自然同态
:<math>H^i(X,R)\to \operatorname{Hom}_R(H_i(X,R),R),</math>
其是''R''域的同构。

例如，令''X''是有向流形，不必是紧的。则其余维为''i''的闭有向子流形''Y''（不必紧）确定了<math>H^i(X,\ R)</math>中的一个元素，''X''的紧有向''j''维子流形''Z''确定了<math>H_j(X,\ R)</math>中的一个元素。下积<math>[Y]\cap[Z]\in H_{j-i}(X,\ R)</math>可通过扰动''Y''、''Z''使其横截相交，再取交集的类（即j-i维紧有向子流形）进行计算。

''n''维闭有向子流形''X''在<math>H_n(X,\ R)</math>中具有[[基本类]]<math>[X]</math>。庞加莱对偶同构
<math display="block">H^i(X,R)\overset{\cong}{\to} H_{n-i}(X,R)</math>
可通过与''X''的基本类的下积定义。

==奇异上同调简史==
上同调是现代代数拓扑的基础，但在同调论发展了40余年后，人们才意识到其重要性。[[亨利·庞加莱]]证明庞加莱对偶定理用的“对偶单元结构”概念即是上同调思想的雏形，但后来才被发现。

* 上同调的前身多种多样。{{sfn|Dieudonné|1989|loc=Section IV.3}}20世纪20年代中期，[[詹姆斯·韦德尔·亚历山大]]和[[所罗门·莱夫谢茨]]创立了流形上循环的[[相交理论]]。在闭有向''n''维流形''M''上，若''i''循环与''j''循环在[[一般位置]]有非空交，则其交就是(i+j-n)循环。这产生了同调类的乘法
:<math>H_i(M) \times H_j(M) \to H_{i+j-n}(M),</math>
这与[[M]]的上同调的[[上积]]很相似。
* 1930年，亚历山大首次定义了上链，将空间''X''上的''i''上链看作是<math>X^{i+1}</math>中对角线小邻域上的函数。
* 1931年，[[乔治·德拉姆]]将同调与微分形式联系起来，证明了[[德拉姆上同调#德拉姆定理|德拉姆定理]]。这一结果可以更简单地用上同调表述。
* 1934年，[[列夫·庞特里亚金]]证明了[[庞特里亚金对偶性]]定理，这是关于[[拓扑群]]的一个结果。这（在相当特殊的情形下）提供了用[[群特征]]解释庞加莱对偶和[[亚历山大对偶]]的方法。
* 1935年的[[莫斯科]]一次学术会议上，[[安德雷·柯尔莫哥洛夫]]和亚历山大引入了上同调，并试图建立上同调积结构。
* 1936年，[[诺曼·斯廷罗德]]通过对偶化切赫同调，构造了[[切赫上同调]]。
* 1936至1938年，[[哈斯勒·惠特尼]]与[[爱德华·切赫]]发展了[[上积]]（使上同调变为分次环）和[[下积]]，意识到庞加莱对偶性可用下积表示。他们的理论仍局限于有限多胞腔的复形。
* 1944年，[[塞缪尔·艾伦伯格]]克服了技术限制，给出了奇异同调和奇异上同调的现代定义。
* 1945年，艾伦伯格和斯廷罗德提出了[[艾伦伯格-斯廷罗德公理]]，下详。在1952年他们合著的《代数拓扑基础》（Foundations of Algebraic Topology）一书中，他们证明了现有的同调和上同调确实满足他们的公理。、
* 1946年，[[让·勒雷]]定义了层上同调。
* 1948年，[[埃德温·斯潘尼尔]]在亚历山大和柯尔莫哥洛夫的基础上，提出了[[亚历山大–斯潘尼尔上同调]]。

==层上同调==
{{Main|层上同调}}
'''层上同调'''是奇异上同调的丰富推广，允许更一般的系数，而不限于阿贝尔群。对拓扑空间''X''上任意的阿贝尔群[[层 (数学)|层]]，有上同调群<math>H^i(X,\ E)</math>（''i''为整数）。特别地，''X''上的[[常层]]与阿贝尔群''A''相关联的情形下，所得的群<math>H^i(X,\ A)</math>与''X''的奇异上同调（流形或CW复形）重合（并非对任意''X''都成立）。20世纪50年代开始，层上同调成为了[[代数几何]]与[[复分析]]的核心部分，部分原因是正则函数层或[[全纯函数]]层的重要性。

[[亚历山大·格罗滕迪克]]用[[同调代数]]优雅地定义、描述了层上同调。其要点在于固定空间''X''，并将层上同调视作从''X''上的[[阿贝尔范畴]]层到阿贝尔群的函子。首先，取从''X''上的层''E''到其在''X''上的非局部截面的阿贝尔群的函子，即''E''(''X'')，它是左[[正合函子]]，而不必右正合。格罗滕迪克定义层上同调群为左正合函子<math>E\mapsto E(X)</math>的右[[导出函子]]。{{sfn|Hartshorne|1977|loc=Section III.2}}

这定义可以有很多推广。例如，可定义拓扑空间''X''的上同调，其系数可以在层的任意复形中，早先称作[[超上同调]]（现在则只叫做“上同调”）。从这角度来看，层上同调成了从''X''上的层[[导出范畴]]到阿贝尔群的函子序列。

更广义地讲，“上同调”常用作阿贝尔范畴上的左正合函子的右导出函子，而“同调”则是右正合函子的左导出函子。例如，对于环''R''，[[Tor函子|Tor群]]<math>{\rm Tor}_i^R(M,\ N)</math>在每个簇形成“同调”，即''R''模的张量积<math>M\otimes_RN</math>的左导出函子。同样，[[Ext函子|Ext群]]<math>{\rm Ext}^i_R(M,\ N)</math>可视作是每个簇中的“上同调”，c即Hom函子<math>{\rm Hom}_R(M,\ N)</math>的右导出函子。

层上同调与一种Ext群相关：对拓扑空间''X''上的层''E''，<math>H^i(X,\ E)</math>同构于<math>{\rm Ext}^i(\mathbb{Z}_X,\ E)</math>，当中<math>\mathbb{Z}_X</math>表示与整数'''Z'''相关联的常层，Ext取''X''上的层的阿贝尔范畴。

== 簇的上同调 ==
有很多构造可计算[[代数簇]]的上同调。最简单的情形是确定<math>0</math>特征域上光滑射影簇的上同调。霍奇理论有叫做[[霍奇结构]]的工具，有助于计算这些簇类的上同调（增加了更精细的信息）。最简单的情形下，<math>\mathbb{P}^n</math>中的光滑超平面的上同调可仅根据多项式的度确定。

考虑有限或特征为<math>p</math>的域上的簇，需要更有力的工具，因为同调/上同调的经典定义被打破了：有限域上的簇只能是有限点集。格罗滕迪克提出了运用格罗滕迪克拓扑的想法，并用[[平展拓扑]]上的层上同调定义有限域上的簇的上同调论。利用特征<math>p</math>域上的簇的平展拓扑，可构造<math>\ell</math>进上同调（<math>\ell\neq p</math>）：

:<math>H^k(X;\Q_\ell) := \varprojlim H^k_{et}(X;\Z/(\ell^n)) \otimes_{\Z_\ell} \Q_\ell</math>

若有有限类型的概形

:<math>X = \text{Proj} \left( \frac{\Z \left[x_0,\ldots,x_n \right]}{ \left (f_1,\ldots,f_k \right )} \right)</math>

则只要簇在两个域上都光滑，<math>X(\Complex)</math>的贝蒂上同调和<math>X(\mathbb{F}_q)</math>的<math>\ell</math>进上同调的维度就相等。此外，还有[[韦尔上同调论]]，与奇异上同调的行为类似。有一种猜想，其理论动机是所有韦尔上同调论的基础。

另一个有用的计算工具是爆破序列（blowup sequence）。给定余维度<math>\geq 2</math>的子概形<math>Z \subset X</math>，有笛卡儿平方

:<math>\begin{matrix}
E & \longrightarrow & Bl_Z(X) \\
\downarrow & & \downarrow \\
Z & \longrightarrow & X
\end{matrix}</math>

由此，有相关的长正合序列

:<math>\cdots \to H^n(X) \to H^n(Z) \oplus H^n(Bl_Z(X)) \to H^n(E) \to H^{n+1}(X) \to \cdots</math>

若子簇<math>Z</math>光滑，则连通态射均平凡，因此

:<math>H^n(Bl_Z(X))\oplus H^n(Z) \cong H^n(X) \oplus H^n(E)</math>
此外，利用法丛<math>N_{Z/X}</math>的陈类，爆破的上同调环很容易计算，公式为
:<math>
H^*()
</math>

==公理与广义上同调论==
拓扑空间的上同调有多种定义（如奇异上同调、[[切赫上同调]]、[[亚历山大–斯潘尼尔上同调]]或[[层上同调]]）（此处层上同调只考虑系数在常层中）。这些理论对某些空间给出了不同结果，但对一大类空间都是一致的，这从公理上最容易理解：有一系列属性称作[[艾伦伯格-斯廷罗德公理]]，任意两个满足其的构造至少在所有CW复形上都一致。{{sfn|May|1999}}{{rp|95}}同调论和上同调论都有公理版本。有些理论可作为计算特殊拓扑空间的奇异上同调的工具，如[[单纯复形]]的单纯上同调、CW复形的[[胞腔同调|胞腔上同调]]、光滑流形的[[德拉姆上同调]]。

上同调论的艾伦伯格-斯廷罗德公理之一是'''维度公理'''：若''P''是单点，则<math>H^i(P)=0,\ \forall i\ne 0.</math>1960年左右，George W. Whitehead发现，完全省略维度公理很有意义：这就产生了广义（上）同调论（定义如下）。K理论或复配边之类的广义上同调论，提供了拓扑空间的丰富信息，且是奇异上同调无法直接提供的（这时，奇异上同调通常叫做“普通上同调”）。

由定义，'''广义同调论'''是从CW-[[拓扑对]][[范畴 (数学)|范畴]]<math>(X,\ A)</math>（于是''X''是CW复形，''A''是子复形）到阿贝尔群范畴的[[函子]]序列<math>h_i</math>（''i''是整数），以及[[自然变换]]<math>\partial_i:\ h_i(X,\ A)\to h_{i-1}(A)</math>，称作'''边界同态'''（其中<math>h_{i-1}(A)</math>是<math>h_{i-1}(A,\ \emptyset)</math>的简写）。公理如下：

# '''同伦'''：若<math>f:(X,A) \to (Y,B)</math>同伦于<math>g: (X,A) \to (Y,B)</math>，则同调上的诱导同态相同。
# '''正合性'''：由结论{{math|''f'': ''A'' → ''X''}}、{{math|''g'': (''X'',∅) → (''X'',''A'')}}，每对(''X'',''A'')都在同调上诱导了长正合序列：<math display="block"> \cdots \to h_i(A) \overset{f_*}{\to} h_i(X) \overset{g_*}{\to} h_i (X,A) \overset{\partial}{\to} h_{i-1}(A) \to \cdots.</math>
# '''[[切除定理|切除]]'''：若''X''是子复形''A''、''B''的并，则对每个''i''，包含<math>f:\ (A,\ A\cap B)\to(X,\ B)</math>会诱导同构<math display="block"> h_i(A, A\cap B) \overset{f_*}{\to} h_i(X,B)</math>
# '''可加性'''：若(''X'',''A'')是一组对<math>(X_\alpha,\ A_\alpha)</math>的不交并，则对每个''i''，包含<math>(X_\alpha,\ A_\alpha)\to(X,\ A)</math>会诱导从直积出发的同构：<math display="block"> \bigoplus_{\alpha} h_i(X_\alpha,A_\alpha)\to h_i(X,A)</math>

广义上同调论的公理大致是通过翻转箭头得到的。更详细地说，'''广义上同调论'''是一系列从CW-拓扑对范畴到阿贝尔群范畴的反变函子序列<math>h^i</math>（''i''是整数），及自然变换{{math|''d'': ''h''<sup>''i''</sup>(''A'') → ''h''<sup>''i''+1</sup>(''X'',''A'')}}，称作'''边界同态''' （其中<math>h^i(A)</math>表示<math>h^i(A,\ \emptyset)</math>。公理如下：

# '''同伦'''：同伦映射在上同调诱导相同的同态。
# '''正合性'''：由结论{{math|''f'': ''A'' → ''X''}}、{{math|''g'': (''X'',∅) → (''X'',''A'')}}，每对(''X'',''A'')都在上同调上诱导了长正合序列：<math display="block"> \cdots \to h^i(X,A) \overset{g_*}{\to} h^i(X) \overset{f_*}{\to} h^i (A) \overset{d}{\to} h^{i+1}(X,A) \to \cdots.</math>
# '''切除'''：若''X''是子复形''A''、''B''的并，则对每个''i''，包含<math>f:\ (A,\ A\cap B)\to(X,\ B)</math>会诱导同构<math display="block"> h^i(X,B) \overset{f_*}{\to} h^i(A,A\cap B)</math>
# '''可加性'''：若(''X'',''A'')是一组对<math>(X_\alpha,\ A_\alpha)</math>的不交并，则对每个''i''，包含<math>(X_\alpha,\ A_\alpha)\to(X,\ A)</math>会诱导到达积群的同构：<math display="block"> h^i(X,A)\to \prod_\alpha h^i(X_\alpha,A_\alpha)</math>

[[谱 (拓扑)|谱]]决定了广义（上）同调论。Brown、Whitehead、Adams得到的一个基本结果是：所有广义同调论都来自一个谱，所有广义上同调论也来自一个谱。{{sfn|Switzer|1975|loc=Theorem 9.27; Corollary 14.36; Remarks|p=117, 331}}这推广了艾伦伯格–麦克兰恩空间对普通上同调的可表性。

一个微妙问题是，从稳定同调范畴（谱的同伦范畴）到CW-拓扑对上的广义同调论的函子，虽然给出了同构类上的双射，但是不等价；在稳定同伦范畴中，有非零映射（即{{le|幻影映射|phantom map}}），其诱导了CW-拓扑对上同伦论间的零映射。同样，从稳定同伦范畴到XW-拓扑对上的广义上同调论的函子也不等价。<ref>{{cite web|url=https://mathoverflow.net/q/117684 |title=Are spectra really the same as cohomology theories?|website=MathOverflow}}</ref>正是稳定同伦范畴具有[[三角范畴|三角化]]之类良好性质。

要将（上）同调论的定义域从CW复形推广到任意拓扑空间，一种标准方法是加入公理：所有[[弱等价 (同伦)|弱同伦等价]]都会在（上）同调诱导一个同构（对奇异（上）同调是正确的，但层上同调等则不然）。由于每个空间都可从CW复形得到弱同伦等价，这公理将所有空间的（上）同调论还原为CW复形的相应理论。{{sfn|Switzer|1975|loc=7.68}}

广义上同调论的一些例子：
* 稳定[[上同伦集|上同伦群]]<math>\pi_S^*(X).</math>相应的同调论更常用：[[稳定同伦论|稳定同伦群]]<math>\pi^S_*(X).</math>
* 各种[[配边]]群，从空间到流形的所有映射的角度研究空间：无向配边<math>MO^*(X)</math>有向配边<math>MSO^*(X),</math>[[复配边]]<math>MU^*(X),</math>等等。复配边在同伦论中尤为强大，经由[[丹尼尔·奎伦]]的定理，同[[形式群律|形式群]]密切相关。
* 拓扑[[K理论]]的各种形式，从空间上所有向量丛的角度研究空间：<math>KO^*(X)</math>（实周期K理论）、<math>ko^*(X)</math>（实连通K理论）、<math>K^*(X)</math>（复周期K理论）、<math>ku^*(X)</math>（复连通K理论），等等。
* [[布朗-彼得森上同调]]、[[莫拉瓦K理论]]、莫拉瓦E理论等等由复配边建立的理论。
* 各种[[椭圆上同调]]。
其中许多理论比普通上同调的信息更丰富，但更难计算。

上同调论''E''若满足<math>E^*(X)</math>对每个空间''X''都具有分次环的结构，则称''E''具有'''乘性'''。用谱的语言来说，有几个更精确的[[环谱]]概念，如''E''<sub>∞</sub>环谱，其中的积在很强的意义上是交换、结合的。

==另见==
{{div col}}
*[[平展上同调]]
*[[伽罗瓦上同调]]
*[[群上同调]]
*[[李代数上同调]]
*[[非阿贝尔上同调]]
*[[量子上同调]]
{{div col end}}

==脚注==
{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==
{{refbegin}}
*{{Citation | author1-first=Jean | author1-last=Dieudonné | author1-link=Jean Dieudonné | title=History of Algebraic and Differential Topology | publisher=[[Birkhäuser]] | year=1989 | mr=0995842 | isbn=0-8176-3388-X | url-access=registration | url=https://archive.org/details/historyofalgebra0000dieu_g9a3 }}
*{{Citation | author1-first=Albrecht | author1-last=Dold | author1-link=Albrecht Dold | title=Lectures on Algebraic Topology | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1972 | mr=0415602 | isbn=978-3-540-58660-9|ref={{sfnRef|Dold|1972}}}}
*{{Citation | author1-first=Samuel | author1-last=Eilenberg | author1-link=Samuel Eilenberg | author2-first=Norman | author2-last=Steenrod | author2-link=Norman Steenrod | title=Foundations of Algebraic Topology | publisher=[[Princeton University Press]] | year=1952 | mr=0050886 | isbn=9780691627236}}
*{{Citation | author1-last=Hartshorne | author1-first=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=Algebraic Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York, Heidelberg | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=0-387-90244-9 | mr=0463157 | year=1977 | volume=52}}
*{{Citation | author1-first=Allen | author1-last=Hatcher | author1-link=Allen Hatcher | title=Algebraic Topology | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2001 | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | isbn=0-521-79540-0 | mr=1867354 | ref={{sfnRef|Hatcher|2001}} | accessdate=2019-10-21 | archive-date=2012-02-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120206155217/http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | dead-url=yes }}
*{{Springer |title=Cohomology |id=p/c023060 }}.
*{{Citation | author1-first=J. Peter | author1-last=May | author1-link=J. Peter May | title=A Concise Course in Algebraic Topology | publisher=[[University of Chicago Press]] | year=1999 | url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf | mr=1702278 | isbn=0-226-51182-0 | accessdate=2019-10-21 | archive-date=2022-10-09 | archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf | dead-url=yes }}
*{{Citation | author1-first=Robert | author1-last=Switzer | title=Algebraic Topology — Homology and Homotopy | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1975 | mr=0385836 | isbn=3-540-42750-3}}
*{{Citation |author1-first=René |author1-last=Thom |author1-link=René Thom |mr=0061823 |title=Quelques propriétés globales des variétés différentiables |journal=[[Commentarii Mathematici Helvetici]] |volume=28 |year=1954 |pages=17–86 |url=http://retro.seals.ch/digbib/view2?pid=com-001:1954:28::48 |doi=10.1007/BF02566923 |s2cid=120243638 }}{{Dead link}}
{{refend}}

{{拓扑学}}

[[Category:代数几何]]
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:同调论]]