查看“︁餘有限空間”︁的源代码

{{unreferenced|time=2011-01-06T15:51:58+00:00}}
{{NoteTA
|1 = zh-cn:补集;zh-tw:差集;
}}
若給定一個集合<math>X</math>，<math>Y</math>為<math>X</math>的子集，使得[[差集]]<math>X-Y</math>為[[有限]]集合，則稱<math>Y</math>為<math>X</math>的餘有限集（cofinite）。

類似地，若給定一個集合<math>X</math>，<math>Y</math>為<math>X</math>的子集，使得差集<math>X-Y</math>為[[可數集]]，則稱<math>Y</math>為餘可數集（cocountable）。

上述的東西都是一些很自然地推廣，當我們開始從有限集合進入到無限集合時。

== 餘有限拓撲 ==

=== '''餘有限拓撲''' ===
'''餘有限拓撲'''是收集集合<math>X</math>內所有子集<math>Y</math>與集合<math>X</math>的相對差集為有限集合的集合<math>Y</math>，並將<math>Y</math>定義為開集的拓撲，這樣的[[拓扑空间|拓撲空間]]稱為餘有限空間。符號上，
:<math>\mathcal{T} = \{A \subseteq X \mid A=\varnothing \mbox{ or } X \setminus A \mbox{ is finite} \}</math>

=== 性質 ===
''餘有限拓撲''的性質有：
* 可傳子：餘有限空間的[[子空間]]也是餘有限的。
* [[緊緻]]、[[列緊]]
* [[T1空間|T<sub>1</sub>空間]]而非[[T2空間|T<sub>2</sub>空間]]
* [[Lindelöf空間]]
* [[連通空間]]
* [[可析空間]]
* 餘有限拓撲是最[[拓撲比較|粗糙]]的T<sub>1</sub>空間：所有X 上的T<sub>1</sub>拓樸必定包含X 的餘有限拓撲。
* 若X 是有限的，則X 上的餘有限拓樸與[[離散空間|離散撲拓]]相同。

類似地可定義'''餘可數空間'''。它必是Lindelöf空間和連通空間。

== 例子 ==

=== EX1 ===
我們讓<math>X = \N</math> ，則集合<math>\{3,4,5\}</math>,<math>\{2\}</math>,<math>\{1,3,5,7\}</math>都是有限集合，因此他們的補集<math>\{1,2,6,7,8,...\}</math>,<math>\{1,3,4,5,6,7,8,...\}</math>,<math>\{2,4,6,8,9,... \}</math>都是餘有限拓樸內裡。

但是並不是所有的無限集合都會在餘有限拓樸中，例如我們取所有偶數的集合，他顯然是自然數的子集，但是他不在餘有限拓樸中，因為他的補集並不是有限的。同樣的道理，所有奇數的集合也不在餘有限拓樸中。

==參考文獻==
*{{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | title=Counterexamples in Topology | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | id={{MathSciNet|id=507446}} | year=1995}} ''(See example 18)''

{{点集拓扑}}

[[Category:点集拓扑学|Y]]
[[Category:无穷集合论基本概念]]