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'''多項式餘式定理'''（{{lang-en|Polynomial remainder theorem}}）是指一個[[多項式]]<math>P(x)</math>除以一線性多項式<math>x - a</math>的[[餘式]]是<math>P(a)</math>。<ref>{{Cite web |title=余式定理与因式定理 |url=https://www.shuxuele.com/algebra/polynomials-remainder-factor.html |website=www.shuxuele.com |access-date=2025-01-12}}</ref>

== 定義 ==
我們可以一般化多項式餘式定理。如果<math>\frac{P(x)}{M(x)}</math>的商式是<math>Q(x)</math>、餘式是<math>R(x)</math>，那麼<math>P(x) = M(x)Q(x) + R(x)</math>。其中<math>R(x)</math>的次數會小於<math>M(x)</math>的次數。例如，<math>\frac{5x^3 + 4x^2 - 12x + 1}{x - 3}</math>的餘式是<math>5 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 1 = 136</math>。又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。

至於除式為2次以上時，可將n次除式的<math>n</math>根<math>a, b, c, \cdots</math>列出聯立方程：
:<math>P(a) = R(a), P(b) = R(b), P(c) = R(c), \cdots</math>

其中<math>P</math>是被除式，<math>R</math>是餘式。

此方法只可用在除式不是任一多項式的<math>n</math>次方。

== 推导 ==
多項式餘式定理可由[[多項式除法]]的定義導出.根据[[多項式除法]]的定義，设被除式為<math>f(x)</math>，除式为<math>g(x)</math>，商式为<math>q(x)</math>，余式为<math>r(x)</math>，则有：
:<math>f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)</math>

如果<math>g(x)</math>是一次式<math>x-a</math>，则<math>r(x)</math>的次数小于一，因此，<math>r(x)</math>只能为常数，这时，余式也叫余数，记为<math>r</math>，即有：
:<math>f(x) = (x - a) \cdot q(x) + r</math>

根据上式，当<math>x=a</math>时，有：
:<math>f(a) = (a - a) \cdot q(a) + r = r</math>

因此，我们得到了余式定理：'''多项式<math>f(x)</math>除以<math>x-a</math>所得的余式等于<math>f(a)</math>'''。

== 參見 ==
{{Portal|数学}}
* [[中国剩余定理]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{algebra-stub}}

[[Category:多项式定理]]