查看“︁餘割”︁的源代码

{{refimprove|time=2012-10-20T08:37:10+00:00}}
{{expand|time=2012-10-19T23:40:51+00:00}}
{{函數
|name =餘割
|image =Csc.svg

|heading1 =1
|parity =奇
|domain = <math>\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}</math><br/><math>\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq 180^\circ k,\,k\in\mathbb{Z}\right\}</math>
|codomain = <math>\left|\csc x\right| \geq 1</math>
|period = <math>2\pi</math><br/>（360°）

|heading2 = 1
|zero = ∞
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = +∞
|min = -∞
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =

|heading3 = 1
|asymptote = <math>x=k\pi</math><br/>（{{math|1=x=180°''k''}}）
|root = 無實根
|critical = <math>k\pi-\tfrac{\pi}{2}</math><br/>（{{math|180°''k''-90°}}）
|inflection = 
|fixed = 當x軸為弧度時：<br/>±1.11415714087193...<br/>（±63.8365018863243...°）<br/>±2.77260470826599...<br/>（±158.858548041742...°）<br/>±6.4391172384172...<br/>（±368.934241551242...°）<br/>...<br/>
當x軸為角度時：<br/>±7.5804535084227...°<br/>±179.6811235695917...°<br/>±360.15908484761767...°<br/>...
|notes =k是一個[[整數]]。
}}
'''餘割'''（Cosecant，<math>\csc</math>）是[[三角函数]]的一种。它的[[定义域]]不是<math>k\pi</math>（或{{math|180°''k''}}，其中<math>k</math>為整數）的整个[[实数集]]，[[值域]]是[[絕對值]][[大於等于]][[一]]的[[实数]]。它是[[周期函数]]，其最小正[[周期]]为<math>2 \pi</math>（360°）。

'''餘割'''是[[三角函数]]的[[餘函數]]（[[餘弦]]、[[餘切]]、'''餘割'''、[[餘矢]]）之一，所以在<math>2k \pi</math>（{{math|360°''k''}}）到<math>2 k \pi + \frac{\pi}{2}</math>（{{math|360°''k''+90°}}）的區間之間，函數是[[遞减]]的，另外'''餘割'''函数和[[正弦]]函数互為[[倒數]]。

在[[單位圓]]上，餘割函数位於[[割線]]上，因此將此函數命名為餘割函数。

和其他[[三角函數]]一樣，餘割函数一樣可以擴展到[[复数_(数学)|複數]]。

== 符号史==
余割的符号为<math>\csc</math>，取自英文{{lang|en|cosecant}}，其又源於拉丁文的{{lang|la|cosecans}}及{{lang|la|secans complementi}}。

== 定义 ==

=== 直角三角形中 ===
[[File:Rtriangle.svg|left|thumb|200px|直角三角形，<math>\angle C</math>為直角，<math>\angle A</math>的角度為 <math> \theta </math>， 對於<math>\angle A</math>而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊]]
在[[直角三角形]]中，一个銳角<math>\angle A</math>的'''餘割'''定義為它的斜邊與對邊的比值，也就是：
:<math> \csc \theta = \frac {\mathrm{c}}{\mathrm{a}}</math>

其定義與[[正弦函數]]互為[[倒數]]。

=== 直角坐标系中 ===
设<math>\alpha</math>是平面[[直角坐标系]]xOy中的一个[[象限角]]，<math>P\left( {x,y} \right)</math>是角的终边上一点，<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>是P到原点O的距离，则<math>\alpha</math>的余割定义为：

:<math>\csc \alpha = \frac{r}{y}</math>
{{clear}}

=== 单位圆定义 ===
[[File:Unit_circle_angles.svg|300px|thumb|[[单位圆]]]]

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。[[逆时针方向]]的度量是正角而[[顺时针]]的度量是负角。设一个过[[原点]]的线，同''x''轴正半部分得到一个角<math>\theta</math>，并与单位圆相交。这个交点的''y''坐标等于<math>\sin \theta</math>。在这个图形中的[[三角形]]确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了<math>\csc \theta = \frac{1}{y}</math>。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
{{clear}}
对于大于<math>2\pi</math>（360°）或小于<math>-2\pi</math>（-360°）的角度，简单的继续绕[[单位圆]]旋转。在这种方式下，餘割变成了周期为<math>2\pi</math>（360°）的[[周期函数]]：

:<math>\csc\theta = \csc\left(\theta + 2\pi k \right) = \csc\left(\theta + 360^\circ k \right)</math>

对于任何角度<math>\theta</math>和任何[[整数]]<math>k</math>。

=== 與其他函數定義 ===
[[餘割函數]]和[[正弦函數]]互為[[倒數]]

即：
:<math>\csc x = \frac{1}{\sin x}</math>

=== 級數定義 ===
餘割也能使用泰勒級數來定義：
:<math>\csc x = \frac{1}{x}+\frac{x}{6}+\frac{7 x^3}{360}+\frac{31 x^5}{15120}+\frac{127 x^7}{604800}+\frac{73 x^9}{3421440}+...=\sum^{\infty}_{n=1} \frac{2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}.</math>

其中<math>B_{2n}</math>為[[伯努利數]]。

另外，我们也有
:<math>\csc x=\frac{1}{x}+2x\sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^n}{-n^2 \pi^2+x^2} .</math>

=== 微分方程定义 ===
:<math>\csc ' x=-\csc x \cot x</math>

:<math>\csc x =\left( \ln \left |\csc x - \cot x\right | \right) '</math>

=== 指数定义 ===
<math>\csc \theta = \frac{2\mathrm{i}}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,</math>

== 恆等式 ==
=== 和差角公式 ===
:<math>\csc(\theta\pm\psi)=\frac{\csc\theta\csc\psi}{\cot\psi\pm\cot\theta}</math>

== 參見 ==
{{commonscat|cosecant function}}
{{Portal|数学}}
* [[正弦]]
* [[餘弦]]
* [[正切]]
* [[餘切]]
* [[正割]]
* [[三角学]]
* [[三角函数]]
* [[函數]]
* [[正弦波]]

{{-}}
{{三角函數}}

[[Category:三角学|Z]]
[[Category:函数|Z]]
[[Category:三角函数]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]