查看“︁餘函數”︁的源代码

{{Hatnote|[[File:Disambig_gray.svg|25px|link=Wikipedia:消歧义]]&nbsp;&nbsp;本條目介紹的是[[三角函數]]中的一個概念，'''餘函數'''也可以指特定情況下微分方程的通解。}}
在[[數學]]中，'''餘函數'''（{{lang|en|cofunction}}或{{lang|en|complementary function}}） 是一個用來描述[[三角函數]]間關係的術語。如果[[函數]] {{math|''f''}} 是函數 {{math|''g''}} 的餘函數，那麼 {{math|''f''}} 的函數值等於對應[[餘角]]代入函數 {{math|''g''}} 的函數值，也就是說，若{{math|1=''f''(''A'') = ''g''(''B'')}}，則{{math|1=''A''}}與{{math|1=''B''}}互為[[餘角]]（即兩個角之和為[[直角]]）。<ref name="Hall_1909">{{cite book |title=Trigonometry |volume=Part I: Plane Trigonometry |first1=Arthur Graham |last1=Hall |first2=Fred Goodrich |last2=Frink |date=January 1909 |chapter=Chapter II. The Acute Angle [10] Functions of complementary angles |publisher=[[Henry Holt and Company]] |location=New York |pages=11–12 |url=https://archive.org/stream/planetrigonometr00hallrich#page/n26/mode/1up}}</ref>這個定義通常適用於三角函數。<ref name="Aufmann_Nation_2014">{{cite book |title=Algebra and Trigonometry |author-first1=Richard |author-last1=Aufmann |author-first2=Richard |author-last2=Nation |edition=8 |publisher=[[Cengage Learning]] |year=2014 |isbn=978-128596583-3 |page=528 |url=https://books.google.com/books?id=JEDAAgAAQBAJ&pg=PA528 |access-date=2017-07-28}}</ref><ref name="Bales_2012">{{cite web |title=5.1 The Elementary Identities |work=Precalculus |author-first=John W. |author-last=Bales |date=2012 |orig-year=2001 |url=http://jwbales.home.mindspring.com/precal/part5/part5.1.html |access-date=2017-07-30 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20170730201433/http://jwbales.home.mindspring.com/precal/part5/part5.1.html |archive-date=2017-07-30 }} {{Wayback|url=http://jwbales.home.mindspring.com/precal/part5/part5.1.html |date=20170730201433 }}</ref>
某個函數的餘函數通常會在原函數的名稱加上「{{lang|en|co-}}」前綴，這樣的用法最早可以追朔到{{link-en|埃德蒙·岡特|Edmund_Gunter}}在1620年的著作《Canon triangulorum》中。<ref name="Gunter_1620">{{cite book |author-first=Edmund |author-last=Gunter |author-link=Edmund Gunter |title=Canon triangulorum |date=1620}}</ref><ref name="Roegel_2010">{{cite web |title=A reconstruction of Gunter's Canon triangulorum (1620) |editor-first=Denis |editor-last=Roegel |type=Research report |publisher=HAL |date=2010-12-06 |id=inria-00543938 |url=https://hal.inria.fr/inria-00543938/document |access-date=2017-07-28 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170728192238/https://hal.inria.fr/inria-00543938/document |archive-date=2017-07-28 }} {{Wayback|url=https://hal.inria.fr/inria-00543938/document |date=20170728192238 }}</ref>

== 定義 ==
如果一個[[三角函數]] {{math|''f''}} 是函數 {{math|''g''}} 的餘函數，此時若：
:<math>f(x)=g(y)</math>
則{{math|''x''}}和{{math|''y''}}互為[[餘角]]：
:<math>x=\frac\pi 2-y</math>
:<math>x=90^\circ-y</math>
對於非三角函數（如[[双曲函数]]），或者[[定義域]]所代表的意義並非[[角]]的度量，則不適用於以上定義。但有些餘函數的定義是參考於與其相關的三角函數，例如[[雙曲正弦]]、[[雙曲餘弦]]、[[古德曼函數]]以及[[餘古德曼函數]]是在定義中將對應的三角函數替換為餘函數來定義。

例如，[[正弦]]（{{lang|en|sine}}，{{lang-la|sinus}}）和[[餘弦]]（{{lang|en|'''co'''sine}}，{{lang-la|cosinus}}<ref name="Gunter_1620"/><ref name="Roegel_2010"/>、{{lang|la|sinus complementi}}<ref name="Gunter_1620"/><ref name="Roegel_2010"/>）互為餘函數（所以餘弦名稱有一個「餘」字，cosine且以「co-」為前綴）：
{| class="wikitable"
|-
| {{nowrap|<math>\sin\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \cos(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
| {{nowrap|<math>\cos\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \sin(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
|-
|}
[[正割]]（{{lang|en|secant}}，{{lang-la|secans}}）和[[餘割]]（{{lang|en|'''co'''secant}}，{{lang-la|cosinus}}、{{lang|la|secans complementi}}）以及正切（{{lang|en|tangent}}，{{lang-la|tangens}}）和餘切（{{lang|en|'''co'''tangent}}，{{lang-la|cotangens}}<ref name="Gunter_1620"/><ref name="Roegel_2010"/>、{{lang|la|tangens complementi}}<ref name="Gunter_1620"/><ref name="Roegel_2010"/>）也互為餘函數：
{| class="wikitable"
|-
| {{nowrap|<math>\sec\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \csc(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
| {{nowrap|<math>\csc\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \sec(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
|-
| {{nowrap|<math>\tan\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \cot(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
| {{nowrap|<math>\cot\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \tan(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
|-
|}
這些等式也稱為{{Vanchor|'''餘函數恆等式'''|餘函數恆等式}}。<ref name="Aufmann_Nation_2014"/><ref name="Bales_2012"/>

== 餘函數列表 ==
其他互為餘函數的三角函數還有：
* [[正矢]]（versed sine，縮寫ver）和餘矢（coversed sine，cvs）
* 餘的正矢（versed cosine，縮寫vcs）和餘的餘矢（coversed cosine，cvc）
* 半正矢（haversine，縮寫hav）和半餘矢（hacoversine，縮寫hcv）
* 餘的半正矢（havercosine，縮寫hvc）和餘的半餘矢（hacovercosine，縮寫hcc）
* [[正弧]]和[[餘弧]]
* [[外正割]]（exsecant，縮寫exs）和[[外餘割]]（excosecant，縮寫exc）
{| class="wikitable"
|-
| 正弦和餘弦
| {{nowrap|<math>\sin\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \cos(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
| {{nowrap|<math>\cos\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \sin(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
|-
| 正割和餘割
| {{nowrap|<math>\sec\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \csc(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
| {{nowrap|<math>\csc\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \sec(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
|-
| 正切和餘切
| {{nowrap|<math>\tan\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \cot(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
| {{nowrap|<math>\cot\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \tan(A)</math><ref name="Hall_1909"/><ref name="Bales_2012"/>}}
|-
| 正矢和餘矢
| {{nowrap|<math>\operatorname{ver}\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \operatorname{cvs}(A)</math><ref name="Weisstein_covers">{{cite web |author-first=Eric Wolfgang |author-last=Weisstein |author-link=Eric Wolfgang Weisstein |title=Coversine |work=[[MathWorld]] |publisher=[[Wolfram Research, Inc.]] |url=http://mathworld.wolfram.com/Coversine.html |access-date=2015-11-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20051127184403/http://mathworld.wolfram.com/Coversine.html |archive-date=2005-11-27 }} {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Coversine.html |date=20051127184403 }}</ref>}}
| {{nowrap|<math>\operatorname{cvs}\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \operatorname{ver}(A)</math>}}
|-
| 餘的正矢和餘的餘矢
| {{nowrap|<math>\operatorname{vcs}\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \operatorname{cvc}(A)</math><ref name="Weisstein_covercos">{{cite web |author-first=Eric Wolfgang |author-last=Weisstein |author-link=Eric Wolfgang Weisstein |title=Covercosine |work=[[MathWorld]] |publisher=[[Wolfram Research, Inc.]] |url=http://mathworld.wolfram.com/Covercosine.html |access-date=2015-11-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20140328110051/http://mathworld.wolfram.com/Covercosine.html |archive-date=2014-03-28 }} {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Covercosine.html |date=20140328110051 }}</ref>}}
| {{nowrap|<math>\operatorname{cvc}\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \operatorname{vcs}(A)</math>}}
|-
| 半正矢和半餘矢
| {{nowrap|<math>\operatorname{hav}\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \operatorname{hcv}(A)</math>}}
| {{nowrap|<math>\operatorname{hcv}\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \operatorname{hav}(A)</math>}}
|-
| 餘的半正矢和餘的半餘矢
| {{nowrap|<math>\operatorname{hvc}\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \operatorname{hcc}(A)</math>}}
| {{nowrap|<math>\operatorname{hcc}\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \operatorname{hvc}(A)</math>}}
|-
| 外正割和外餘割
| {{nowrap|<math>\operatorname{exs}\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \operatorname{exc}(A)</math>}}
| {{nowrap|<math>\operatorname{exc}\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \operatorname{exs}(A)</math>}}
|-
|}

== 正函數與餘函數 ==
餘函數不一定是代表兩函數間的關係，也可以是一種函數的分類。例如三角函數也可以根據性質區分成正函數與餘函數。例如[[正弦]]、正切、正割可以稱為正函數，而餘弦、餘切、餘割則稱為餘函數。正函數代表的是對於該正角在單位圓上[[割圓八線]]的各段長度；餘函數代表的是對於該餘角在單位圓上割圓八線的各段長度。

== 參見 ==
* [[双曲函数]]
* {{link-en|雙紐餘弦|Lemniscatic cosine}}
* [[雅可比橢圓函數|雅可比橢圓餘弦]]
* [[协方差|-{zh:協方差; zh-cn:协方差; zh-tw:共變異數; zh-hk:協方差;}-]]
* [[三角恒等式]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

{{三角函數}}

[[Category:三角学]]