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'''风险决策'''在[[决策论]]范畴内指决策者知道环境状态出现的概率的决策。这些概率可能客观可知（如[[乐透]]、[[轮盘赌]]）或依据主观估计（例如基于历史数据）。

== 一般概念 ==

'''风险决策''' 也就是通常所说的 {{tsl|de|Entscheidung unter Unsicherheit|不确定条件下的决策}}. 当人们虽然知道有哪些可能的环境状态,但却并不知道具体每种环境状态的概率时，同时把环境的进入概率看作[[风险]], 即存在 {{tsl|de|Entscheidung unter Ungewissheit|未知条件下的决策}}, 
    
风险决策可以通过一个矩阵来表示决策问题: 决策者可以选择采取不同的行动 <math> a_i </math>, 每个行动和可能出现的不同的状况 <math> s_j </math> 相对应产生不同的结果 <math> e_{ij} </math> . 出现不同状况的概率 <math> w_j </math> 为已知, 那么则有: <math>0 \le w_j \le 1</math> 及 <math>\sum_{j}w_j = 1</math> 成立.

* '''例子:''' 一年内投资100 元. 有如下选择: 一支股票(<math> a_1 </math>) 或者零利率的储蓄(<math> a_2 </math>). 可能出现的状况是: 股票上涨(<math> s_1 </math>), 股票下跌 (<math> s_2 </math>) 或者股票价格无变化 (<math> s_3 </math>).

: 例如结果矩阵如下所示:

{| border="0" 
 !width="5%"|  
 !width="10%" align="Right"|<math>s_1</math>
 !width="10%" align="Right"|<math>s_2</math>
 !width="10%" align="Right"|<math>s_3</math>
 |-
 ! <math>a_1</math>
 | align="Right"| 120
 | align="Right"| 80
 | align="Right"| 100
 |-
 ! <math>a_2</math>
 | align="Right"| 100
 | align="Right"| 100
 | align="Right"| 100
 |}
 
: 决策者设股票上涨的概率为 <math> w_1 </math>，股票下跌的概率为 <math> w_2 </math>  以及股票保持不变的概率为 <math> w_3 </math>.

== 决策原则 ==

在风险决策时可以采用以下几种原则:

=== 贝叶斯原则 ===

'''贝叶斯原则''' 也被称作μ-原则. 决策者只根据期望值做出决策.
:<math> \max_i : \varphi{}_{ai} = E(e_i) = \mu{}_e = \sum_j w{}_j \cdot e_{ij} </math>

因为只有每个选项的期望值 <math> a_i </math> 被评估, 所以决策者的风险偏好是中性的, 例如他对参加有50%机会赢1元钱和50%机会输1元钱的游戏的态度是中性的. 在前面例子里决策者为中性，当: <math>e_{11}</math>*<math>w_1</math> + <math>e_{12}</math>*<math>w_2</math> + <math>e_{13}</math>*<math>w_3</math> = 100 (一个和概率<math>w_j</math>无关的保险的"支付"), 也可以是: 120*<math>w_1</math> + 80*<math>w_2</math> + 100*<math>w_3</math>. 无差别也可以表现为等概率分布, 当存在: <math>w_1</math> = <math>w_2</math> = <math>w_3</math> = <math>\frac{1}{3}</math>.

=== 期望值的问题 ===

[[圣彼得堡悖论]]的'''例子'''显示了 , 仅考虑期望值并不能正确反映人们在真实情况下做出的决策行为:

* 一个(理想的)硬币(正面和反面都有50%概率) 被抛出.
* 参加者得到以下支付:
** 2 元, 第一次就抛出正面
** 4 元, 第二次才抛出正面
** ...
** <math>2^n</math> 元, 第 n-次 才抛出正面
* 参加者将需要支付一个公平的价格, 也就是游戏的期望值.

一个决策者如果只根据期望值做出决策, 将会决定为参加游戏支付公平的价格, 也就是期望值 (他对于参加与不参加应该是恰好中性的):

期望值计算如下:
* 第一次就抛出正面的概率为 <math>{1 \over2}</math>, 得到 2元.
* 第二次才抛出正面的概率为 <math>{1 \over4}</math>, 得到 4元.
* ...
* 第n次才抛出正面的概率为<math>\frac{1}{2^n}</math>, 得到 <math>2^n</math>元.

那么 E(X) = <math>{1 \over2} * 2 + {1 \over4} * 4 + ... + \frac{1}{2^n} * 2^n</math> + ... = 1 + 1 + ... + 1 + ... 也就是无穷大.

但是，事实上没有人肯为这个游戏支付无穷多的钱.

=== μ-σ-原则 ===

在 '''μ-σ-原则''' 里，决策者既考虑风险的偏好又考虑[[标准差]]. [[风险中性]]的决策者对应于'''贝叶斯原则''', 一个选项<math>a_i</math>对于[[风险回避]]型(厌恶风险)决策者的吸引力随着它的标准差的递增而递减，  而对于风险偏爱型的决策者则正好相反.

:<math> \max_i : \varphi_{ai} = \Phi ( \mu_i, \sigma_i ) </math>

一种可能μ-σ-原则的形式的例子:

:<math> \Phi ( \mu_i, \sigma_i ) = \mu_i - \alpha \cdot \sigma_i </math>

当α &lt; 0 时: 决策者为风险偏爱型, 一个σ更高的选项，将比一个有着相同期望值μ但较低σ的选项优先. 当 α > 0 时: 决策者为风险回避型, 一个σ较低的选项，将比一个有着相同期望值μ但较高σ的选项优先. 当α = 0 则等价于贝叶斯原则, 决策者为风险中性, 标准差σ将不会影响决策.

μ-σ-原则应用的前提是未来利润呈[[正态分布]]或者决策者有一个二次的[[效用函数]].

=== 伯努利原则 ===

在应用 '''伯努利原则'''时，结果矩阵 <math> e_{ij} </math> 必须先通过一个风险效用函数转化为效用值. 独立的风险效用函数<math> u(e_{ij}) </math>反映了一个决策者的风险偏好. 一个风险回避型的决策者的风险效用函数, 是一个[[凸函数]], 而一个[[凹函数]] 则表示决策者是风险偏爱型. 但是一个风险效用函数既存在凸区间也存在凹区间也是可能的. 例如在实践中可以观察到, 人们既买[[彩票]](风险偏爱), 又买 [[保险]](风险回避).

风险效用函数值被最大化.  

:<math> \max_i : \varphi_{ai} = \sum_j w_j \cdot u(e_{ij}) </math>

==参见==
*[[确定性决策]]


[[Category:風險]]
[[Category:决策论]]