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'''预序关系'''（简称'''预序'''，又称'''先序'''，'''preorder'''）、在[[数学]]中，是一类接近于[[偏序关系]]的二元关系，但仅满足[[自反性]]和[[传递性]]而不满足[[反对称性]]。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

==定义==

考虑[[集合 (數學)|集合]] ''P'' 及其上的[[二元关系]] <math>\lesssim</math>。若 <math>\lesssim</math> 具有[[自反性]]和[[传递性]]，则称 <math>\lesssim</math> 为'''预序'''。具体来说，对任意 ''P'' 的元素 ''a''，''b'' 和 ''c''，下列性质成立：

:''a'' <math>\lesssim</math> ''a'' (自反性)
:若 ''a'' <math>\lesssim</math> ''b'' 且 ''b'' <math>\lesssim</math> ''c''，则 ''a'' <math>\lesssim</math> ''c'' (传递性)

带预序的集合称为'''预序集合'''。同时满足[[反对称性]]（若 ''a'' <math>\lesssim</math> ''b'' 且 ''b'' <math>\lesssim</math> ''a''，则 ''a'' = ''b''）的预序为[[偏序]]。

==说明==

作为特例，[[空集]]上的[[空关系]]为一预序。[[空集]]加上空关系构成一预序集。

==导出偏序==

将预序集的等价元素等同起来，可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下：定义预序集 ''X'' 上的等价关系 <math>\sim \,</math>，使得 ''a'' <math>\sim \,</math> ''b'' [[当且仅当]] ''a'' <math>\lesssim</math>  ''b'' 且 ''b'' <math>\lesssim</math>  ''a''。定义所得[[商集]] <math>X / \mathrm{\sim}</math>（所有 <math>\sim \,</math> 的[[等价类]]构成的集合）上的序关系 <math>\le</math> ，使得[''x'']  <math>\le</math>  [''y''] 当且仅当 ''x'' <math>\lesssim</math>  ''y''。由 <math>\sim \,</math> 的构造可知，<math>\le</math> 的定义与所选等价类的代表元素无关，故上述定义[[明确定义|明确]]。易证该关系为一偏序。

==举例==

* [[拓撲學]]中，[[網 (數學)|網]]收敛的定义使用预序比使用偏序可避免重要特征的丢失。
* 可數[[全序]]的[[嵌入 (數學)|嵌入]]關係。
* [[图论]]中的[[图子式]]关系（{{le|羅伯遜-西摩定理|Robertson–Seymour theorem}}）
* 多種經濟學模型的[[偏好]]。

==参见==
{{refbegin|2}}
* [[二元关系]]
* [[偏序关系]]
* [[全序关系]]
* [[等价关系]]
* [[有向集合]]
* [[预序范畴]]
* {{鏈解|良擬序}}
{{refend}}

==參考文獻==
{{refbegin}}
* {{Citation
  | last = Schröder | first = Bernd S. W.
  | title = Ordered Sets: An Introduction
  | place = Boston
  | publisher = Birkhäuser
  | year = 2002
  | isbn = 0-8176-4128-9}}
{{refend}}

[[Category:序理论|Y]]
[[Category:数学关系]]