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'''顯式方法'''（explicit method）和'''隱式方法'''（implicit methods）是[[数值分析]]中計算以時間為自變數的[[常微分方程]]和[[偏微分方程]]的數值近似法，也是[[偏微分方程]]中[[计算机模拟]]會使用的方法。'''顯式方法'''會用系統目前的狀態來計算下一個時間的狀態，'''隱式方法'''會將系統目前狀態和下一個時間的狀態以方程式的方式表示，下一個時間的狀態為未知數，求解方程式來得到下一個時間的狀態。考慮數學的型式，若<math>Y(t)</math>是目前系統狀態，<math>Y(t+\Delta t)</math>是下一個時間的狀態（<math>\Delta t</math>是很小的時間間隔），在顯式方法下，下一個時間的狀態為
: <math>Y(t+\Delta t) = F(Y(t))\,</math>
在隱式方法下，下一個時間的狀態可用以下方程來表示
: <math>G\Big(Y(t), Y(t+\Delta t)\Big)=0  \qquad (1)\,</math>
需求解方程才能得到下一個時間的狀態。

隱式方法需要針對方程式求解，需要額外的計算，也比較不容易實現。顯式方法比較容易實現，但許多問題屬於[[刚性方程]]，為了要使其誤差限制在一定範圍內（和[[数值稳定性]]有關），需要非常小的<math>\Delta t</math>。這類的問題，若要得到相同的精度，可以用隱式方法，選取較大的時間間隔，就算將隱式方法需要在每一步針對方程式(1)的求解考慮在內，隱式方法仍可以在較少的運算量下得到結果。因此，要用隱式方法或是顯式方法求解需視問題而定。隱式方法無法用在每一種微分運算子上，因此有時會用所謂的運算子分離法（operator splitting method），將微分算子改寫為兩種互補算子的結合
:<math>Y(t+\Delta t) = F(Y(t+\Delta t))+G(Y(t)),\,</math> 
一個是顯式的，另一個則是隱式的。
一般的應用會讓隱式項是線性的，而顯式項可以為非線性。這種組合稱為「隱式－顯式方法」（Implicit-Explicit Method），簡稱IMEX<ref>U.M. Ascher, S.J. Ruuth, R.J. Spiteri: ''[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.48.1525&rep=rep1&type=pdf  Implicit-Explicit Runge-Kutta Methods for Time-Dependent Partial Differential Equations] {{Wayback|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.48.1525&rep=rep1&type=pdf |date=20220702235902 }}'', Appl Numer Math, vol. 25(2-3), 1997</ref><ref>L.Pareschi, G.Russo: ''[https://www.researchgate.net/profile/Lorenzo_Pareschi/publication/230865813_Implicit-Explicit_Runge-Kutta_schemes_for_stiff_systems_of_differential_equations/links/0046352a03ba3ee92a000000.pdf Implicit-Explicit Runge-Kutta schemes for stiff systems of differential equations]'', Recent Trends in Numerical Analysis, Vol. 3, 269-289, 2000</ref>。

==用前向歐拉方法和後向歐拉方法的說明==
考慮[[常微分方程]]

: <math>\frac{dy}{dt} = -y^2, \ t\in [0, a]\quad \quad (2)</math>

初始條件是<math>y(0)=1</math>。考慮格點<math>t_k=a\frac{k}{n}</math>，0&nbsp;≤&nbsp;''k''&nbsp;≤&nbsp;''n''，意思是，時間間隔是<math>\Delta t=a/n,</math>，且<math>y_k=y(t_k)</math>。用最簡單的顯式和隱式方法將此方程式[[离散化]]，分別是「前向歐拉方法」及「後向歐拉方法」，並且比較其差異。

;前向歐拉方法:
[[File:Result of applying integration schemes.png|thumb|用不同的積分法所得的結果<math> y'=-y^2, \; t\in[0, 5], \; y_0=1 </math>，<math>\Delta t = 5/10</math>.]]
前向[[欧拉方法]]
:<math>\left(\frac{dy}{dt}\right)_k \approx \frac{y_{k+1}-y_k}{\Delta t} = - y_k^2</math>
可得
: <math>y_{k+1}=y_k-\Delta t y_k^2 \quad \quad \quad(3)\, </math>
對所有<math>k=0, 1, \dots, n.</math>，這是<math>y_{k+1}</math>的顯式公式。

;後向歐拉方法:
用{{le|後向歐拉方法|backward Euler method}}
:<math>\frac{y_{k+1}-y_k}{\Delta t} = - y_{k+1}^2</math>

可以得到<math>y_{k+1}</math>的隱式方程
: <math>y_{k+1}+\Delta t y_{k+1}^2=y_k</math>
比較上式和公式(3)，公式(3)的<math>y_{k+1}</math>可以直接求得，而此處是方程式中的未知數，需要求解。

這是[[一元二次方程]]，有一個正[[根 (数学)|根]]和一個負根，因為其初值為正，選擇其正根，則下一步的<math>y</math>為
: <math>y_{k+1}=\frac{-1+\sqrt{1+4\Delta t y_k}}{2 \Delta t}. \quad \quad (4)</math>

大部份的隱式方程中，要求解的方程會比一元二次方程複雜的多，也有可能不存在解析解，因此需要用其他[[求根算法]]（例如[[牛顿法]]）來求得數值解。

;克兰克－尼科尔森方法:
用[[克兰克－尼科尔森方法]]
:<math>\frac{y_{k+1}-y_k}{\Delta t} = -\frac{1}{2}y_{k+1}^2 -\frac{1}{2}y_{k}^2</math>

可以求得<math>y_{k+1}</math>的隱式方程
: <math>y_{k+1}+\frac{1}{2}\Delta t y_{k+1}^2=y_k - \frac{1}{2}\Delta t y_{k}^2</math>

這可以用[[求根算法]]（例如[[牛顿法]]）來求得<math>y_{k+1}</math>的數值解。

克兰克－尼科尔森方法可以視為是通用的IMEX（'''Im'''plicit-'''Ex'''plicit，隱式-顯式）架構。

;前向-後向歐拉方法:
[[File:Comparison_between_Foward-Backward-Euler_and_Foward-Euler.png|thumb|400px|用前向歐拉方法以及前向-後向歐拉方法，在<math>a = 5</math>和<math>n = 30</math>下的結果]]
為了應用IMEX架構，考慮另一個微分方程:
: <math>\frac{dy}{dt} = y-y^2, \ t\in [0, a]\quad \quad (5)</math>
可以得到
: <math>\left(\frac{dy}{dt}\right)_k \approx y_{k+1}-y_{k}^2, \ t\in [0, a]</math>
因此
: <math>y_{k+1}=\frac{y_k(1-y_k\Delta t)}{1-\Delta t} \quad\quad(6)</math>
針對<math>k=0, 1, \dots, n</math>

==相關條目==
* {{le|Courant–Friedrichs–Lewy條件|Courant–Friedrichs–Lewy condition}}
* [[SIMPLE算法]]，壓力耦合方程組的半隱式方法

==來源==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:Explicit And Implicit Methods}}
[[Category:数值微分方程]]