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{{noteTA
|G1=物理學
}}
'''似氫原子模型'''（Hydrogen-like atom）是只擁有一個[[電子]]的[[原子]]，與氫原子同為[[等電子體]]，例如，[[氦|He<sup>+</sup>]], [[鋰|Li<sup>2+</sup>]], [[鈹|Be<sup>3+</sup>]]與[[硼|B<sup>4+</sup>]]等等都是類氫原子，又稱為「類氫離子」。類氫原子只含有一個[[原子核]]與一個[[電子]]，是個簡單的[[二體問題|二體系統]]，系統內的[[作用力]]只跟二體之間的距離有關，是[[反平方定律|反平方]][[連心力]]。這反平方連心力二體系統不需再加理想化，簡單化。描述這系統的（非[[相對論]]性的）[[薛丁格方程式]]有[[解析解]]，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的[[波函數]]可以完全地描述電子的量子行為。在[[量子力學]]裏，類氫原子問題是一個很簡單，很實用，而又有解析解的問題。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，類氫原子問題是個很重要的問題。

稱滿足上述系統的薛丁格方程式的波函數為'''單電子波函數'''，或'''類氫原子波函數'''。類氫原子波函數是單電子[[角動量算符]] <math>L</math> 與其 z-軸分量算符 <math>L_z</math> 的[[本徵函數]]。由於能量[[本徵值]] <math>E_n</math> 跟量子數 <math>l</math> ，<math>m</math> 無關，而只跟[[主量子數]] <math>n</math> 有關。所以，類氫原子波函數可以由主量子數 <math>n</math> 、[[角量子數]] <math>l</math> 、[[磁量子數]] <math>m</math> ，獨特地決定。因為[[構造原理]]，還必須加上[[自旋量子數]] <math>m_s=\pm 1/2</math> 。對於多電子原子，這原理限制了[[電子構型]]的四個量子數。對於類氫原子，所有[[簡併]]的軌域形成了一個[[電子層]]；每一個電子層都有其獨特的主量子數 <math>n</math> ．這主量子數決定了電子層的能量。主量子數也限制了角量子數 <math>l</math> 、磁量子數 <math>m</math> 、自旋量子數 <math>m_s</math> 的值域。

除了[[氫]]原子（電中性）以外，類氫原子都是[[離子]]，都帶有正電荷量 <math>e(Z-1)</math> ；其中，<math>e</math> 是[[單位電荷量]]，<math>Z</math> 是[[原子序數]]。離子像[[氦|He<sup>+</sup>]]、[[鋰|Li<sup>2+</sup>]]、[[鈹|Be<sup>3+</sup>]]、[[硼|B<sup>4+</sup>]]、等等，都是類氫原子。

在[[元素周期表]]中，第 IA 族的[[鹼金屬]]元素，其原子的最外[[電子層]]都有一個電子，而第二外層電子層的亞層，不論是 s 亞層或 p 亞層，凡是內中有電子的亞層．都已被填滿。例如，[[鈉]]元素有11個電子。[[電子排佈]]為 <math>1s^2 2s^2 2p^6 3s^1</math> 。最外層只有一個電子。第二外層的 <math>2s</math> 與 <math>2p</math> 亞層都已填滿。[[鉀]]元素有19個電子。電子排佈為 <math>1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1</math> 。第二外層的 <math>3s</math> 與 <math>3p</math> 亞層都已填滿。由於 <math>3p</math> 亞層的[[軌域]]的能量較高，最外層唯一的一個電子的軌域是 <math>4s</math> 。受到內層電子的緊密屏蔽，這最外層的電子只能感受到大約為一個質子的存在。有效原子序數是 1 。所以，這鹼金屬的單電子系統可以視為一個類氫原子系統。可以用原子序數為 1 的類氫原子波函數，來近似地表達這電子的量子態。

因為電子與電子之間的[[庫侖定律|庫侖相互作用]]，擁有多個電子的原子或離子沒有[[解析解]]，必須用[[數值分析|數值法]]來做量子力學計算，才能求得近似的[[波函數]]以及其它有關性質。由於[[哈密頓量]]的球對稱性，一個原子的角動量 <math>L</math> 守恆。許多數值程序，開始於單電子算符 <math>L^2</math> 與 <math>L_z</math> 的本徵函數的乘積。所計算出來的波函數的徑向部分 有時會是數值列表或[[斯萊特軌域]] ({{lang|en|Slater orbitals}}) 。應用[[角動量偶合]]方法 ({{lang|en|angular momentum coupling}}) ，可以設定 <math>L</math> （或許也可以設定 <math>S</math> ）的多電子本徵函數。

==薛丁格方程式解答==
類氫原子問題的薛丁格方程式為
:<math>-\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2\psi +V(r)\psi= E\psi</math> ；

其中，<math>\hbar</math> 是[[約化普朗克常數]]，<math>\mu</math> 是電子與原子核的[[約化質量]]，<math>\psi</math> 是量子態的波函數，<math>E</math> 是能量，<math>V(r)</math> 是[[庫侖定律|庫侖位勢]]：
:<math>V(r) = - \frac{Ze^2}{4 \pi \epsilon_0 r}</math> ；

其中，<math>\epsilon_0</math> 是[[真空電容率]]，<math>Z</math> 是[[原子序]]，<math>e</math> 是[[單位電荷量]]，<math>r</math> 是電子離[[原子核]]的距離。

採用球坐標 <math>(r,\ \theta,\ \phi)</math>，將[[拉普拉斯算子]]展開：
:<math>-\frac{\hbar^2}{2\mu r^2}\left \{ \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\left[\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\right \}\psi  - \frac{Ze^2}{4 \pi \epsilon_0 r}\psi= E\psi</math> 。

猜想這薛丁格方程式的波函數解 <math>\psi(r,\ \theta,\ \phi)</math> 是徑向函數 <math>R_{nl}(r)</math> 與[[球諧函數]] <math>Y_{lm}(\theta,\ \phi)</math> 的乘積：
:<math>\psi(r,\ \theta,\ \phi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\ \phi)</math> 。

===角部分解答===
參數為天頂角和方位角的球諧函數，滿足角部分方程式 
:<math> -\frac{1}{\sin^2\theta} \left[
\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \Big(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Big)
+\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right] Y_{lm}(\theta,\phi) 
= l(l+1)Y_{lm}(\theta,\phi)</math> ；

其中，非負整數 <math>l</math> 是[[角動量|軌角動量]]的'''角量子數'''。'''磁量子數''' <math>m</math> （滿足 <math> - l\le m\le l</math> ）是軌角動量對於 z-軸的（量子化的）[[投影]]。不同的 <math>l</math> 與 <math>m</math> 給予不同的軌角動量函數解答 <math>Y_{lm}</math> ：
:<math> Y_{lm}(\theta,\ \phi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2l+1)\over 4\pi}{(l - |m|)!\over (l+|m|)!}}  \, P_{lm} (\cos{\theta}) \, e^{im\phi}</math> ；

其中，<math>i</math> 是[[虛數單位]]，<math>P_{lm}(\cos{\theta})</math> 是[[伴隨勒讓德多項式]]，用方程式定義為
:<math>P_{lm}(x) = (1 - x^2)^{|m|/2}\ \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_l(x)\,</math> ；

而 <math>P_l(x)</math> 是 <math>l</math> 階[[勒讓德多項式]]，可用[[羅德里格公式]]表示為
:<math>P_l(x) = {1 \over 2^l l!} {d^l \over dx^l }(x^2 - 1)^l</math> 。

===徑向部分解答===
徑向函數滿足一個一維薛丁格方程式：
:<math>\left[ - {\hbar^2 \over 2\mu r^2} {d\over dr}\left(r^2{d\over dr}\right) +{\hbar^2 l(l+1)\over 2\mu r^2} - \frac{Ze^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \right] R_{nl}(r)=ER_{nl}(r)</math> 。

方程式左邊的第二項可以視為[[離心力|離心力位勢]]，其效應是將徑向距離拉遠一點。

除了量子數 <math>\ell</math> 與 <math>m</math> 以外，還有一個'''主量子數''' <math>n</math> 。為了滿足 <math>R_{nl}(r)</math> 的邊界條件，<math>n</math> 必須是正值整數，能量也離散為[[能級]] <math> E_{n} = - \left(\frac{Z^2\mu e^4}{32 \pi^2\epsilon_0^2\hbar^2}\right) \frac{1}{n^2}=\frac{ - 13.6Z^2}{n^2}\ (eV) </math> 。隨著量子數的不同，函數 <math>R_{nl}(r)</math> 與 <math>Y_{lm}</math> 都會有對應的改變。按照慣例，規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣，徑向函數可以表達為
:<math> R_{nl} (r) = \sqrt {{\left (  \frac{2 Z}{n a_{\mu}} \right ) }^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3} } e^{- Z r / {n a_{\mu}}} \left (  \frac{2 Z r}{n a_{\mu}} \right )^{l} L_{n-l-1}^{2l+1} \left ( \frac{2 Z r}{n a_{\mu}} \right ) </math> ；

其中，<math>a_{\mu} = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{\mu e^2}}</math> 。 <math>a_{\mu}</math> 近似於[[波耳模型|波耳半徑]] <math>a_0</math> 。假若，原子核的質量是無限大的，則 <math>a_\mu = a_0</math> ，並且，約化質量等於電子的質量，<math>\mu=m_e</math> 。 <math>L_{n-l-1}^{2l+1}</math> 是[[拉盖尔多项式#广义拉盖尔多项式的性质与应用|廣義拉格耳多項式]]，定義為

:<math>L_{i}^{j}(x)= ( - 1)^{j}\ \frac{d^{j}}{dx^{j}}L_{i+j}(x)</math> ；

其中，<math>L_{i+j}(x)</math> 是[[拉格耳多項式]]，可用羅德里格公式表示為

:<math>L_{i}(x)=\frac{e^x}{i!}\ \frac{d^{i}}{dx^{i}}(x^i e^{ - x})</math> 。

為了要結束廣義拉格耳多項式的[[遞迴關係]]，必須要求 <math>l < n</math> 。

知道徑向函數 <math>R_{nl}(r)</math> 與球諧函數 <math>Y_{lm}</math> 的形式，可以寫出整個量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：
:<math>\psi_{nlm} = R_{nl}(r)\, Y_{lm}(\theta,\phi)</math> 。

===量子數===
量子數 <math>n</math> ，<math>l</math> ，<math>m</math> 都是整數，容許下述值：
:<math>n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots</math> ，
:<math>l=0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n - 1</math> ，
:<math>m= - l,\ - l+1,\ \ldots,\ 0,\ \ldots,\ l - 1,\ l</math> 。

為什麼 <math>l < n</math> ？為什麼 <math> - l \le m \le  l </math> ？若想進一步知道關於這些量子數的群理論，敬請參閱[[拉普拉斯-龍格-冷次向量#氫原子量子力學|氫原子量子力學]]。

===角動量===
每一個原子軌域都有特定的角動量向量 <math>\mathbf{L}</math> 。它對應的算符是一個向量算符 <math>\hat{\mathbf{L}}</math> 。[[角動量算符]]的平方 <math>\hat{L}^2\equiv \hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2</math> 的本徵值是

:<math>\hat{L}^2 Y_{lm}=\hbar^2 l(l+1)Y_{lm}</math> 。

角動量向量對於任意方向的[[投影]]是量子化的。設定此任意方向為 z-軸的方向，則量子化公式為

:<math>\hat{L}_z Y_{lm} = \hbar m Y_{lm}</math> 。

因為 <math>[\hat{L}^2,\ \hat{L}_z]=0</math> ，<math>\hat{L}^2 </math> 與 <math>\hat{L}_z</math> 是[[對易關係|對易的]]，<math>L^2 </math> 與 <math>L_z</math> 彼此是[[可觀察量#不相容可觀察量|相容可觀察量]]，這兩個算符有共同的本徵態。根據[[不確定性原理]]，以同時地測量到 <math>L^2 </math> 與 <math>L_z</math> 的同樣的本徵值。

由於 <math>[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y]=i\hbar \hat{L}_z</math> ，<math>\hat{L}_x</math> 與 <math>\hat{L}_y</math> 互相不對易，<math>L_x</math> 與 <math>L_y</math> 彼此是[[可觀察量#不相容可觀察量|不相容可觀察量]]，這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，<math>\hat{L}_x</math> 的本徵態與 <math>\hat{L}_y</math> 的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為 <math>|\psi\rangle</math> 。對於可觀察量算符 <math>\hat{L}_x</math> ，所有本徵值為 <math>l_{xi}</math> 的本徵態 <math>|f_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots</math> ，形成了一組基底量子態。量子態 <math>|\psi\rangle</math> 可以表達為這基底量子態的[[線性組合]]：<math>|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle</math> 。對於可觀察量算符 <math>\hat{L}_y</math> ，所有本徵值為 <math>l_{yi}</math> 的本徵態 <math>|g_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots</math> ，形成了另外一組基底量子態。量子態 <math>|\psi\rangle</math> 可以表達為這基底量子態的線性組合：<math>|\psi\rangle=\sum_i \ |g_i\rangle\langle g_i|\psi\rangle</math> 。

假若，測量可觀察量 <math>L_x</math> ，得到的測量值為其本徵值 <math>l_{xi}</math> ，則量子態[[機率]]地[[波函數塌縮|塌縮]]為本徵態 <math>|f_i\rangle</math> 。假若，立刻再測量可觀察量 <math>L_x</math> ，得到的答案必定是 <math>l_{xi}</math> ，在很短的時間內，量子態仍舊處於 <math>|f_i\rangle</math> 。可是，假若改為立刻測量可觀察量 <math>L_y</math> ，則量子態不會停留於本徵態 <math>|f_i\rangle</math> ，而會機率地塌縮為 <math>\hat{L}_y</math> 本徵值是 <math>l_{yj}</math> 的本徵態 <math>|g_j\rangle</math> 。這是量子力學裏，關於測量的一個很重要的特性。

根據[[不確定性原理]]，
:<math>\Delta L_x\ \Delta L_y \ge \left|\frac{\langle[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y]\rangle}{2i}\right|=\frac{\hbar |\langle \hat{L}_z\rangle|}{2}</math> 。

<math>L_x</math> 的不確定性與 <math>L_y</math> 的不確定性的乘積 <math>\Delta L_x\ \Delta L_y </math> ，必定大於或等於 <math>\frac{\hbar |\langle L_z\rangle|}{2}</math> 。

類似地，<math>L_x</math> 與 <math>L_z</math> 之間，<math>L_y</math> 與 <math>L_z</math> 之間，也有同樣的特性。

===自旋-軌道作用===
{{main|自旋-軌道作用}}
電子的總角動量必須包括電子的[[自旋]]。在一個真實的原子裏，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的[[自旋]]與[[磁場]]產生作用 ，這現象稱為[[自旋-軌道作用]]。當將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，可以將此想像為電子的[[進動]]。為了維持保守性，必須取代量子數 <math>l</math> 、<math>m</math> 與自旋的投影 <math>m_s</math> ，而以量子數 <math>j</math>，<math>m_j</math> 來計算總角動量。

===精細結構===
{{main|精細結構}}
在[[原子物理學]]裏，因為一階[[相對論|相對論性]]效應，與[[自旋-軌道耦合]]，而產生的原子[[譜線]]分裂，稱為'''精細結構'''。

非相對論性，無[[自旋]]的[[電子]]產生的譜線稱為'''粗略結構'''。類氫原子的粗略結構只跟主量子數 <math>n</math> 有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的[[簡併]]，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個 <math>(Z\alpha)^{2}</math> 效應；其中，<math>Z</math> 是[[原子序數]]，<math>\alpha</math> 是[[精細結構常數]]。

在[[相對論量子力學]]裏，[[狄拉克方程式]]可以用來計算電子的波函數。用這方法，[[能階]]跟主量子數 <math>n</math> 、總量子數 <math>j</math> 有關<ref>{{cite book|title=Introduction to Quantum Physics|url=https://archive.org/details/introductiontoqu00fren|first=A.P. |last=French|publisher=W.W. Norton & Company|year=1978| pages=pp. 542}}</ref><ref>[http://zopyros.ccqc.uga.edu/lec_top/rltvt/node5.html#SECTION00023000000000000000 狄拉克方程式關於氫原子的解答] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080218012709/http://zopyros.ccqc.uga.edu/lec_top/rltvt/node5.html |date=2008-02-18 }}</ref>，容許的能量為
:<math>E_{nj} = E_n\left[1+\left(\frac{Z\alpha}{n}\right)^2\left(\frac{n}{j+\frac{1}{2}} - \frac{3}{4}\right)\right]</math> 。

==穩定性==
思考類氫原子穩定性問題，應用[[經典電動力學]]來分析，則由於[[庫侖力]]作用，束縛電子會被原子核吸引，呈[[螺線|螺線運動]]掉入原子核，同時輻射出無窮大能量，因此原子不具有穩定性。但是，在大自然裏這虛擬現象實際並不會發生。那麼，為什麼類氫原子的束縛電子不會掉入原子核裏？應用[[量子力學]]，可以計算出類氫原子系統的基態能量大於某有限值，稱這結果為滿足「第一種穩定性條件」，即類氫原子的基態能量 <math>E_0</math> 大於某有限值：<ref name=Lieb1990>{{cite journal
 | last =Lieb
 | first =Elliot
 | title =THE STABILITY OF MATTER:FROM ATOMS TO STARS
 | journal =BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
 | volume =22
 | issue =1
 | date =1990
 | url =http://www.ams.org/journals/bull/1990-22-01/S0273-0979-1990-15831-8/S0273-0979-1990-15831-8.pdf
 | access-date =2014-09-30
 | archive-date =2013-12-19
 | archive-url =https://web.archive.org/web/20131219055212/http://www.ams.org/journals/bull/1990-22-01/S0273-0979-1990-15831-8/S0273-0979-1990-15831-8.pdf
 | dead-url =no
 }}</ref>{{rp|10}}
:<math>E_0 > -\infty</math> 。

量子力學的[[海森堡不確定性原理]] <math>\Delta x \Delta p \ge \hbar/2</math> 可以用來啟發性地說明這問題，電子越接近原子核，電子動能越大。但是海森堡不確定性原理不能嚴格給出數學證明，有些特別案例不能滿足第一種穩定性條件，因為 <math>\Delta x</math> 量度的是波函數的半寬度，而不是波函數集聚於原子核附近的程度，所以波函數可以擁有一定的半寬度，並且極度集聚於原子核附近，造成庫侖勢能趨於 <math>-\infty</math> ，同時維持有限的動能。

更詳細分析起見，只考慮類氫原子系統，給定原子的[[原子序]] <math>Z</math> ，原子的能量 <math>E</math> 為<ref group="註">為了方便運算，採用 <math>\hbar^2/2=1</math> 、質量 <math>m=1</math> 、基本電荷 <math>|e|=1</math> 的單位制。</ref>
:<math>E=T+V=\int_{\mathbb{R}^3}  \mathrm{d}x\left(\frac{1}{2}|\nabla\psi(x)|^2-Z\frac{|\psi(x)|^2}{|x|} \right)</math> ；

其中，<math>T</math> 為動能，<math>V</math> 為勢能，<math>\psi(x)</math> 為描述類氫原子系統的[[波函數]]，<math>x</math> 為位置坐標，<math>\mathbb{R}^3</math> 為積分體積。

應用[[索博列夫不等式]]，經過一番運算，可以得到能量[[最大下界]]為。<ref name=Lieb1976>{{cite journal
 | last =Lieb
 | first =Elliot
 | title =The stability of matter
 | journal =Review of Modern Physics
 | volume =48
 | pages =553-569
 | date =1976
 | url =http://www.pas.rochester.edu/~rajeev/phy246/lieb.pdf
 | access-date =2014-09-30
 | archive-date =2015-02-20
 | archive-url =https://web.archive.org/web/20150220064015/http://www.pas.rochester.edu/~rajeev/phy246/lieb.pdf
 | dead-url =no
 }}</ref>
:<math>E_0=-4Z^2/3\ [Ry]</math> ；

其中，<math>Ry</math> 是能量單位[[里德伯常数|里德伯]]，大約為13.6[[電子伏特|eV]]。

總結，類氫原子滿足第一種穩定性條件這結果。

==參閱==
*[[氫原子]]
*[[里德伯原子|芮得柏原子]]
*[[正子電子偶]]
*[[拉普拉斯-龍格-冷次向量]]
*[[精細結構]]
==註釋==
{{reflist|group="註"}}
==參考文獻==
{{reflist}}
* Tipler, Paul & Ralph Llewellyn (2003).  ''Modern Physics'' (4th ed.).  New York: W. H. Freeman and Company.  ISBN 0-7167-4345-0
*{{cite book | first=David J.|last=Griffiths|title=Introduction to Quantum Mechanics | url=https://archive.org/details/introductiontoqu00grif_848|publisher=Prentice Hall |location=Upper Saddle River, NJ |year=1995 |id=ISBN 0-13-111892-7|pages=[https://archive.org/details/introductiontoqu00grif_848/page/n144 131]-200}}

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